Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 125Zu (b) :Da µ L ein Polynom ist, das über IK in Linearfaktoren zerfällt und für das µ L (L) =Θgilt, folgt aus der obigen Überlegung, daß p ein Teiler von µ L ist.Sei j ∈{1,...r}. Sei v ∈ H(λ j ). Wir habenr∏− λ l id X )l=1(L α l(v) = ∏ (L − λ l id X ) α l(L − α j id X ) α j(v) =p(L)(v) =θ.l≠jWegen X = H(λ 1 ) ⊕···⊕H(λ r ) folgt damit p(L)(x) =θ für alle x ∈ X, alsop(L) =Θ.Da also p ein Teiler von µ L ist, muß p das Minimalpolynom sein.Zu (c) :Ist deg(q) < deg(µ L ), dann ist q = θ auf Grund der Definition von µ L . Ist deg(q) ≥deg(µ L ), dann erhalten wir mit Division mit Restq = µ L f + rmit Polynomen f,r, wobei deg(r) < deg(µ L )ist.AusΘ = q(L) =µ L (L)f(L)+r(L) =r(L)folgt r(L) =Θ und wegen deg(r) < deg(µ L ) schließlich r = θ. Also ist µ L ein Teiler vonq.Definition 5.24Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei L : X −→ X einEndomorphismus. Sei λ ∈ IK ein Eigenwert mit zugehörigem verallgemeinertenEigenraum H(λ). Dann heißt β := dim IK H(λ) die Vielfachheit von λ.2Folgerung 5.25Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Sind λ 1 ,...,λ r ∈ IK die paarweise verschiedenenEigenwerte mit zugehörigen Vielfachheiten β 1 ,...,β r , dann gilt:Beweis:Folgt aus Satz 5.21.r∑β l =dim IK Xl=1