Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 128Sei n := dim IK X. Nach Lemma 5.20 ist jedes x ∈ X ein verallgemeinerter Eigenvektorzum Eigenwert λ =0, also X ⊂ Kern(L n ) nach Lemma 5.12.Wir haben in Abschnitt 2.3verschärfen zuMatrizen von oberer Dreiecksgestalt kennengelernt. WirDefinition 5.31Eine Matrix A ∈ IK n,n von oberer Dreiecksgestalt heißt von strikter oberer Dreiecksgestalt,falls die Elemente in der Diagonalen von A verschwinden.2Lemma 5.32Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei L ∈ Hom IK (X, X) nilpotent.Dann besitzt X eine Basis, bezüglich der L eine Matrixdarstellung von strikteroberer Dreiecksgestalt besitzt.Beweis:Wähle eine Basis von Kern(L) und erweitere diese Basis zu einer Basis von Kern(L 2 ).Fahre in dieser Weise fort. Da L k = Θ ist für ein k ∈ N, erhält man so eine Basis von X.Klar, bezüglich dieser Basis hat L eine Matrixdarstellung von oberer Dreiecksgestalt.Satz 5.33Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Seien λ 1 ,...,λ r ∈ IK die paarweise verschiedenenEigenwerte von L. Dann besitzt X eine Basis bezüglich der L eine MatrixdarstellungA der FormA = diag(D 1 ,...,D r ), (5.4)D i = λ i E + N i ,N i von strikter oberer Dreiecksgestalt, 1 ≤ i ≤ r, (5.5)hat.Beweis :Dies folgt aus Satz 5.21 nach Lemma 5.32.Bemerkung 5.34Der obige Satz stellt eine Normalform eines Endomorphismus bereit: Jeder Endomorphismuskann trianguliert werden. Eine schärfere Normalform stellt die JordanscheNormalform dar. Sie besagt, daß jedes N i in (5.5) in eine Form gebracht werden kann,bei der höchstens in der oberen Nebendiagonalen Einträge von Null verschieden sind; fallssie von Null verschieden sind, sind es Einsen. Diese Normalform werden wir im folgendenAbschnitt ableiten. 2Liegt eine Matrixdarstellung A eines Endomorphismus L : X −→ X in der Form (5.4),(5.5) vor, dann liest man die Eigenwerte von L in der Diagonalen von A direkt ab.