Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 108nach Definition zweidimensional ist. Also haben wir E = x 0 + U, wobei U ein zweidimensionalerTeilraum von IK 3 ist. Aus Folgerung 4.63 folgt die Existenz von λ ∈ IK 3 \{θ}mit =< λ,x 0 > für alle x ∈E. Aus Bemerkung 4.56 folgt dann b).Zu (b) =⇒ (a).Sei a := (a 1 ,a 2 ,a 3 ) ∈ IK 1,n und sei V := L({a}),U := {u ∈ IK 3,1 |a t u =0}. Nun istdim IK V =1,U = V a , dim IK U = 2 und x ∈E genau dann, wenn a t (x − x 0 ) = 0 gilt. Alsoist x ∈Egenau dann, wenn x ∈ x 0 + U gilt (beachte Bemerkung 4.56). Daher ist E einzweidimensionaler affiner Raum und damit eine Ebene.Definition 4.66Sei X ein IK –Vektorraum. Sei λ ∈ X ′ \{θ} und sei b ∈ IK . Dann heißtH λ,b := {x ∈ X| = b}eine Hyperebene.2Bemerkung 4.67Die Folgerung 4.54 besagt, daß der Punkt x 0 ≠ θ nicht auf der Hyperebene H λ,0 liegt.Im Kapitel 9 (Konvexität) gehen wir genauer auf die Diskussion von Hyperebenen ein.Erwähnt sei hier aber noch, daß die Existenz von Linearformen mit der Eigenschaft ausFolgerung 4.54 in unendlichdimensionalen Räumen keine Trivialität ist. Hierzu liefert derSatz von Hahn–Banach, einer der drei Hauptsätze der Funktionalanalysis, Ergebnisse. Diegeometrische Fassung dieses Satzes hat mit trennenden Eigenschaften von Hyperebenen zutun. (Die “Ebene“ IK n wird durch eine Hyperebene H λ,b aufgespalten in zwei Halbräume.)2Daß folgende Definition sinnvoll ist, belegt das nachfolgende Lemma.Definition 4.68Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y IK –linear. Die AbbildungL ′ : Y ′ ∋ µ ↦−→ L ′ (µ) ∈ X ′ mit :=< µ,L(x) >, x∈ X,heißt die (zu L) adjungierte Abbildung.2Lemma 4.69Seien X, Y ein IK –Vektorräume und sei L : X −→ Y IK –linear. Dann ist L ′ einewohldefinierte IK –lineare Abbildung.Beweis: