Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 161A aufgespannten Parallelogramms. Regel (R2) besagt, daß die Fläche des von den Zeilenaufgespannten Parallelogramms gleich dem durch die Spalten von A aufgespanntenParallelogramms ist. Andere Regeln lassen erkennen, daß die Funktion δ die von einerFlächenfunktion zu erwartenden Eigenschaften besitzt. Als Verallgemeinerung von δ wirddie Determinantenfunktion det dann als Volumenfunktion interpretiert.Beispiel 7.1Hat man eine MatrixA =( )A1 θ∈ IKθ A 3,3 mit A 1 ∈ IK 2,2 ,A 2 ∈ IK 1,1 ,2in Kästchenform, so sollte sich das Volumen des von den Spalten von A aufgespannteParallelepiped, wenn die obige Interpretation zutrifft, als δ(A 1 )·δ(A 2 ) ergeben. Vergleichedies mit dem Resultat aus Regel (R1)und (R4). 2Die Behandlung von Determinanten in der linearen Algebra ist nicht so unumstrittenwie dies für Gruppen, Vektorräume und lineare Abbildungen gilt. Die häufig zu findendeBegründung für die Einführung von Determinanten, daß sie für die Diskussion von linearenGleichungssystemen gebraucht würden, ist irreführend: Weder für die theoretischenÜberlegungen (Existenz und Eindeutigkeit), noch für die praktischen Schritte werden siebenötigt. (Unsere obige Darstellung täuscht eine Relevanz für die Gleichungssyteme nurvor: Wir wollten an das Kapitel 2 anküpfen, in dem erst ein Verfahren zur Behandlungbereitzustellen war, und die Begriffe Rang und Defekt noch nicht bereitstanden.) Dieeigentliche Motivation für die Einführung von Determinanten ist die Tatsache, daß beider Behandlung von Volumina spätestens dann Detrminanten benötigt werden, wenn manKoordinaten–Transformationen vornimmt (Substitutionsregel; siehe Analysis II).Im Kapitel 5 haben wir die Determinante einer Matrix auf sehr indirektem Weg eingeführt;die Interpretation als Volumenfunktion ist damit vorweggenommen. Für die obige Matrixbedeutet diesdet(A) =λ 1 · λ 2 ,λ 1 ,λ 2 Eigenwerte von A.Die Schwierigkeit dieser Definition liegt in der Tatsache, daß dazu Eigenwerte von Aexistieren müssen, eine Tatsache, die offenbar mit der Eigenschaft, daß A split über IRist, zusammenhängt. Als Kandidat für das charakteristische Polynom erhalten wir auseinem Eliminationsschritt (“Elimination von x 1 “), angewendet auf das Gleichungssystemdie Polynomgleichungoder(a 11 − λ)x 1 + a 12 x 2 =0,a 21 x 1 +(a 22 − λ)x 2 =0Diese Polynomgleichung läßt sich lesen als(a 11 − λ)(a 22 − λ) − a 12 a 21 =0λ 2 − λ(a 11 + a 22 )+a 22 a 11 − a 12 a 21 =0.δ(A − λE) =0