Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 206alsodet(u 1 | ...|u n−1 |x) = 2 .Aus den Regeln für Determinanten entnimmt man u 1 ∧ ...∧ u n−1 = θ genau dann, wennu 1 ,...,u n−1 linear abhängig sind. Man vergewissert sich nun, daß für n = 3 das uns schonaus Abschnitt 7.5 bekannte Vektorprodukt entsteht.Definition 8.32Sei (X, σ) ein euklidischer (unitärer) Vektorraum. Zwei Vektoren x, y ∈ X heißenorthogonal, wenn σ(x, y) =0gilt.Zwei Mengen U ⊂ X, V ⊂ X heißen orthogonal, falls σ(u, v) =0für alle u ∈U, v ∈ V gilt.2Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum. Aus der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung (sieheLemma 8.24) folgt für x ≠ θ, y ≠ θγ x,y :=σ(x, y)‖x‖ σ ‖y‖ σ∈ [−1, 1] .Also gibt es genau einen Winkel γ(x, y) ∈ [0,π]mitund man erhält offenbar:(R1) x, y orthogonal ⇐⇒ γ(x, y)= π 2 .σ(x, y)=‖x‖ σ ‖y‖ σ cos(γ(x, y))(R2) x, y linear abhängig ⇐⇒ γ(x, y) =0oderγ(x, y) =π.(R3) ‖x − y‖ 2 σ = ‖x‖2 σ + ‖y‖2 σ − 2‖x‖ σ‖y‖ σ cos(γ(x, y))(R4) ‖x + y‖ 2 σ = ‖x‖ 2 σ + ‖y‖ 2 σ, falls σ(x, y) = 0 ist.(R5) ‖x − y‖ 2 σ + ‖x + y‖ 2 σ =2‖x‖ 2 σ +2‖y‖ 2 σ(Kosinussatz)(Satz von Pythagoras)(Parallelogramm–Identität)Beispiel 8.33Betrachte den ′C – VektorraumX := {f :[−π,π] −→ ′C | f stetig} ,versehen mit dem Skalarproduktσ(f,g):=∫ π−πf(t)g(t)dt .