Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 171Lemma 7.17Sei A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)n∈ IK n,n und seien a # ij , 1 ≤ i, j ≤ n, die algebraischenKomplemente. Dann gilt:a # ij =(−1) i+j det(A ij ),wobeiA ij ∈ IK n−1,n−1 aus A durch Streichen der i−ten Zeileund j−ten Spalte entstanden ist; 1 ≤ i, j ≤ n.Beweis:Sei A ′ ij ∈ IK n,n die Matrix, die aus A durch Ersetzen der j-ten Spalte durch e i ∈ IK n,1und Ersetzen der i-ten Zeile durch e j ∈ IK 1,n entsteht. Aus (a 1 | ...|a j−1 |e i |a j+1 | ...|a n )entsteht durch elementare Spaltenumformungen diese Matrix A ′ ij , und es giltdet((a 1 | ...|a j−1 |e i |a j+1 | ...|a n )) = det(A ′ ij) .Durch (i − 1) Spalten– und (j − 1) Zeilenvertauschungen ensteht aus A ′ ij die Matrix( )1 θ.θ A ijEs gilt:det((a 1 | ...|a i−1 |e j |a i+1 | ...|a n )) = det(A ′ ij) =(−1) i+j det(A ij ) .Lemma 7.18Sei A ∈ IK n,n und sei A # die zu A komplementäre Matrix. Dann gilt:AA # = A # A =det(A) E.Beweis:Wir berechnen die Einträge von A # A.n∑n∑a # kia kj = a kj det((a 1 | ...|a i−1 |e k |a i+1 | ...|a n ))k=1k=1n∑= det((a 1 | ...|a i−1 | a kj e k |a i+1 | ...|a n ))k=1= det((a 1 | ...|a i−1 |a j |a i+1 | ...|a n ))= δ ij det(A)Also ist A # A =det(A)E. Analog AA # =det(A)E.Gegeben sei ein GleichungssystemAx= bmit A ∈ IK n,n ,b∈ IK n,1 . Ist det(A) ≠0, dann existiert A −1 und wir lesen aus Lemma7.18 ab:A −1 1=det(A) A# .