Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 209Definition 8.36Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unitärer) Vektorraum. Dann heißteine Basis x 1 ,...,x n von X mitσ(x i ,x j )=δ ij , 1 ≤ i, j ≤ n,eine Orthonormalbasis.2Satz 8.37Sei (X, σ) ein endlichdimensionaler euklidischer (unitärer) Vektorraum. Dann besitztX eine Orthonormalbasis.Beweis:Sei n := dim X und sei u 1 ,...,u n eine Basis von X. Wir konstruieren eine Orthonormalbasisx 1 ,...,x n induktiv:n =1:x 1 := u 1 ‖u 1 ‖ −1σ . Dann ist σ(x 1 ,x 1 ) = 1 und L({u 1 })=L({x 1 }).Seien x 1 ,...,x n−1 definiert mitfür k =1,...,n− 1.SetzeDann gilt σ(z k+1 ,x i )=0sind. Mitσ(x i ,x j )=δ ij , 1 ≤ i, j ≤ k,L({x 1 ,...,x k })=L({u 1 ,...,u k }) (8.4)gilt dann (8.4) für k := k +1.n∑z k+1 := u k+1 − σ(u k+1 ,x i )x ii=1, 1 ≤ i ≤ k, u k+1 ≠ θ, da x 1 ,...,x k ,z k+1 linear unabhängigx k+1 := z k+1 ‖z k+1 ‖ −1σDas Kontruktionsverfahren aus dem Beweis zu Satz 8.37 nennt man Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren.Orthogonalisierung und Orthonormalbasen tauchen erstmals bei der Untersuchung von schwingendenSaiten und beim Studium der Newtonschen Anziehung von Massen auf. A.M. Legendre(1752 – 1833) fand bei der Entwicklung des Newtonschen Potentials eine Schar von Polynomen,die paarweise orthogonal war. Diese Polynome werden heutzutage als Legendre–Polynome bezeichnet.Eingang als Theorieelement fand der Begriff der Orthonormalbasis durch E. Schmidt (1876 –1959) bei der Beschreibung von Hilberträumen.Im Abschnitt über Bilinearformen haben wir in Satz 8.20 jedem Endomorphismus L :X −→ X einen adjungierten Homomorphismus L ∗ : X −→ X gemäßσ(x, L(y)) = σ(L ∗ (x),y)für alle x, y ∈ Xzugeordnet. Dies ist allerdings dort nur für den Fall, daß (X, σ) ein euklidischer endlichdimensionalerVektorraum ist, gezeigt. Dies ist auch richtig im Fall, daß (X, σ) ein