Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 152Die AbbildungX ∋ b ↦−→ T b ∈ GA(X)ist injektiv. Dies führt dazu, daß die abelsche Gruppe (X, +) mit mit einer Untergruppeder affinen Gruppe GA(X) identifizierbar ist. Mit diesem Sachverhalt wird häufig auchauf den Begriff des Vektorraums hingeführt.Bemerkung 6.28Beachte, daß man eine TranslationT b : X ∋ x ↦−→ b + x ∈ X (b ∈ X)als Wirkung der abelschen Gruppe (X, +) auf X verstehen kann:Φ:X × X ∋ (b, x) ↦−→ b + x ∈ X.Kommen wir zu Invarianzeigenschaften.Sei f ∈ GA(X) ,f(·) =¯x + L(·) , ¯x ∈ X,Llinear. Dann gilt für u, v ∈ Xv − u ⇐⇒ f(v) − f(u) .Dies kann man dahingehend zusammenfassen, daß Parallelogramme invariant unter Affinitätensind. Eine zweite Invarianzeigenschaft ist das Teilungsverhältnis. Dies folgt mitx 0 ,x 1 ,v ∈ X,x 0 ≠ x 1 , ausv − x 0 = a(x 1 − x 0 ) ⇐⇒ f(v) − f(x 0 )=a(f(x 1 ) − f(x 0 )) .Man faßt dies als Geradentreue zusammen.Einer der Ausgangspunkte für die Entwicklung der affinen Geometrie war die Untersuchungvon Parallelprojektionen in der darstellenden Geometrie. Wichtige Spezialfälledavon sind die Parallelprojektionen des dreidimensionalen Raums auf eine Ebene. Diesewerden, wie wir nun sehen wollen, beschrieben durch affine Abbildungen.2Satz 6.29Sei X ein IK –Vektorraum X und seien A 1 ,A 2 affine Teilräume von X mit RichtungsraumU 1 bzw. U 2 . Es gelte: X = U 1 ⊕ U 2 . Setze für v ∈ XA 1 (v) :=v + U 1 .Dann gilt:(a) Zu jedem v ∈ V gibt es genau ein x v ∈ X mit A 1 (v) ∩ A 2 = {x v } .(b) Die Abbildung f : X ∋ v ↦−→ x v ∈ X ist affin.Beweis:Sei etwa A 2 = w + U 2 = w 1 + w 2 + U 2 mit w = w 1 + w 2 ,w 1 ∈ U 1 ,w 2 ∈ U 2 .Sei v ∈ X, v = v 1 + v 2 ,v 1 ∈ U 1 ,v 2 ∈ U 2 . Setze dazu x v := v 2 + w 1 . Dann gilt mit