Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 15Zu (a). Klar: x ∈ [x] für alle x ∈ X wegen der Reflexivität von “∼“.Zu (b). Sei x ∼ y.Sei u ∈ [x]. Dann ist u ∼ x und aus der Symmetrie und der Transitivitätfolgt u ∼ y,d.h.u ∈ [y]. Also ist [x] ⊂ [y] gezeigt. Die Aussage [y] ⊂ [x] folgt völlig analog.Ist [x] =[y] dannistx ∼ y, dawirx ∈ [y] =[x] haben.Zu (c). Unter Beachtung der Transitivität, der Symmetrie von “∼“ und (b) folgtwas zu beweisen war.z ∈ [x] ∩ [y] ⇐⇒ z ∼ x, z ∼ y ⇐⇒ x ∼ y ⇐⇒ [x] =[y]Definition 1.24Sei X eine Menge. Eine Teilmenge O ⊂ X × X heißt Halbordnung von X, fallsgilt:(i) Für alle x ∈ X gilt (x, x) ∈ O.(ii) (x, y) ∈ O, (y,x) ∈ O =⇒ y = x.(iii) (x, y), (y,z) ∈ O =⇒ (x, z) ∈ O.Ist zusätzlich noch(iv) Für alle x, y ∈ X gilt (x, y) ∈ O oder (y, x) ∈ Oerfüllt, dann heißt O eine Ordnung von X.2Meist schreibt man bei Vorliegen einer Halbordnung O statt (x, y) ∈ O auch x O ∼ y oderkurz x ≤ y.Offenbar haben wir das Ungleichungszeichen “ ≤“ zumAnlaßfür obige Definition 1.24genommen. Die übliche “Kleiner–Gleich–Beziehung“ in ZZ und ′Q ist eine Ordnung.Beispiel 1.25Ist X eine Menge, dann ist in P(X) eine Halbordnung O definiert durch(A, B) ∈ O : ⇐⇒ A ≤ B : ⇐⇒ A ⊂ B.Beachte, daß nur in trivialen Fällen eine Ordnung vorliegt. 21.5 ZahlenDie reellen Zahlen bezeichneten wir mit IR . Sie umfassen die rationalen Zahlen und wirkommen von den rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen, indem wir auch Dezimalzahlenzulassen, die keine echten Brüche darstellen. In der Analysis wird diese Konstruktiongenauer studiert. Jedenfalls stehen auch hier wieder die Rechenarten