Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 4Lineare AbbildungenNun fügen wir der Struktur “Vektorraum“ die zur Vektorraumstruktur passenden Abbildungenhinzu. Damit erscheinen dann die Matrizen und Gleichungssysteme in neuemLicht.4.1 Definition und BeispieleDefinition 4.1Seien X, Y IK –Vektorräume. Eine Abbildung L : X −→ Y heißt IK –linear genaudann, wennL(x 1 + x 2 )=L(x 1 )+L(x 2 ) ,L(ax) =aL(x) für alle x 1 ,x 2 ,x∈ X,a∈ IK (4.1)gilt.2Man beachte, daß in (4.1) auf der linken Seite die Addition und skalare Multiplikation inX, auf der rechten Seite die Addition und skalare Multiplikation in Y Verwendung findet.Ist L : X −→ Y eine Abbildung, so haben wir auch die Abbildungenid IK × L : IK ×X ∋ (a, x) ↦−→ (a, L(x)) ∈ IK ×Y ,L × L : X × X ∋ (x 1 ,x 2 ) ↦−→ (L(x 1 ),L(x 2 )) ∈ Y × Y.Damit können wir die DiagrammeIK × X id IK ×L−→⊙⏐↓LX −→IK × Y⏐↓ ⊙YX × X⊕⏐↓XL×L−→L−→Y × Y⏐↓⊕Ybetrachten. Die Linearität von L ist nun offenbar damit äquivalent, daß die Diagrammekommutieren, d.h.daß⊙◦(id IK × L) =L ◦⊙, ⊕◦(L × L) =L ◦⊕78