Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 243Lösung des Optimierungsproblems. Im vorliegenden Beispiel ist die Lösung eindeutigbestimmt. Sie liegt im “Eckpunkt“ ( 7 , 4 ) des Polyeders. Der entsprechende Wert der3 3Zielfunktion beträgt f( 7, 4 )=−50. (Der negative Gewinn kann als Kosten interpretiert3 3werden.) 2Die obige Form der Optimierungsaufgabe wollen wir zu einer Standardform abwandeln.Wir behandelnMinimiere unter den Nebenbedingungen Ax = b, x≥ θ.Dabei sind alsoA ∈ IR m,n ,b∈ IR m ,c∈ IR ngegeben und wir können o.E. n > m annehmen. Anderenfalls hat nämlich das GleichungssystemAx = b im allgemeinen genau eine oder keine Lösung; in keinem Falle istdie Aufgabe dann interessant.Auf diese Standardform – wir benennen sie mit (LOP) –lassensichursprünglich andersformulierte Aufgaben, auch das eingangs formulierte lineare Optimierungsproblem,umschreiben.Beispiel 9.37Durch Einführung der “Hilfsvariablen“ y ∈ IR m wird aus der Aufgabedie AufgabeMinimiere unter den Nebenbedingungen Ax ≤ b, x≥ θMinimiere unter den Nebenbedingungen A ′ x ′ = b ′ ,x ′ ≥ θ,wobei(xA ′ := (A|E) ,b ′ := b, x ′ :=y),c ′ := (c|θ)ist. 2Die Beschäftigung mit Aufgaben vom Typ (LOP) wird unter dem Stichwort “LineareOptimierung“ zusammengefaßt; sie ist Kern des Fachgebiets “Operations Research“. Hiersind typische Anwendungen der linearen Optimierung: Transportprobleme (Kostenminimierungbeim Transport von Gütern zu den Märkten), Rundreiseprobleme (Kostenminimierungbei der Ausarbeitung einer Tour durch eine vorgegebene Anzahl vonStädten); letzteres Problem ist ein Problem der ganzzahligen Optimierung. Das imnächsten Abschnitt zur Vorstellung kommende Simplexverfahren kann so abgeändert werden,daß es auch ganzahlige Probleme löst.Für das Problem (LOP) wollen wir das Simplexverfahren beschreiben. Davor haben wirnoch einige Vorbereitungen zu treffen.