Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 201Sei ˜T ∈T 2 (X). Sei x ∈ X.Die Abbbildungist linear. Also gibt es ein ˜x ∈ X mitDie so resultierende AbbildungX ∋ z ↦−→ ˜T (x, z) ∈ IK˜T (x, z) =T (˜x, z) für alle z ∈ X.X ∋ x ↦−→ ˜x ∈ Xist linear (vergleiche Beweis zu Satz 8.20), und es gibt daher L ∈ Hom IK (X, X) mit˜x = L(x),x∈ X. Die Linearität dieser Zuordnung ˜T ↦−→ L folgt aus der Tatsache, daßT nichtausgeartet ist, die Injektivität aus der Tatsache, daß T (θ, z) =0für alle z ∈ Xist. Da Hom IK (X, X) endlichdimensional ist, ist J T sogar bijektiv.Unter den Voraussetzungen von Satz 8.22 ist die Bilinearform ˜T symmetrisch genau dann,wenn L selbstadjungiert (bezüglich T ) ist. Sie ist auch nichtausgeartet, wenn L bijektivist.Ist x 1 ,...,x n eine Basis von X, dann kann man einer Bilinearform T ∈T 2 (X) die MatrixB T := (T (x i ,x j )) 1≤i,j ≤nzuordnen. Unter Verwendung des Skalarproduktesn∑σ(a, b):= a i b i ,a,b∈ IK n,1i=1und der Koordinatenabbildung k X : X −→ IK n,1 kann man nun die Bilinearform T sodarstellen:T (x, y)=k X (x) t B T k X (y)Offenbar ist also T eine symmetrische nichtausgeartete Bilinearform genau dann, wennBT t = B T und B T invertierbar ist. Ist T nun eine symmetrische nichtausgeartete Bilinearformund ist A L die Matrixdarstellung von L ∈ Hom IK (X, X) bezüglich der Basisx 1 ,...,x n , dann ist A t L die Matrixdarstellung von L ′ : X ′ −→ X ′ bezüglich der dualenBasis und die BeziehungT (L(x),y)=T (x, L ∗ (y)) für alle x, y ∈ Xliefert für die Matrixdarstellung A L ∗ von L ∗ die IdentitätA L ∗ = B −1T A t LB T .