Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 203Folgerung 8.25Sei σ ein Skalarprodukt auf X. Dann wird durch‖·‖ σ : X ∋ x ↦−→ σ(x, x) 1 2∈ IReine Norm ‖·‖ σ auf X definiert.Beweis:Die Eigenschaften der Norm folgen in einfacher Weise aus Lemma 8.24; beachte auchLemma 6.12.Definition 8.26Sei σ ein Skalarprodukt auf X und sei ‖·‖ σ die nach Folgerung 8.25 zugehörige Norm.Dan heißt (X, σ) Hilbertraum, falls der normierte Raum (X, ‖·‖ σ ) vollständig ist.2Die Theorie der Hilberträume entwickelte sich aus dem Studium von Integralgleichungen heraus.Damit wurde die moderne Ära der Analysis eröffnet. Die Spektraltheorie der quadratischen Formenin einem Hilbertraum ist der tiefliegendste Beitrag D. Hilberts in der Analysis.Beispiel 8.27Das euklidische Skalarprodukt < ·, · > 2 auf IR n (siehe Definition 6.11) ist auch im Sinnevon Definition 8.23 ein Skalarprodukt.Das natürliche Skalarprodukt auf ′C n ist gegeben durchn∑ 2 := σ(x, y):= x i y i ,x,y∈ ′C n .i=1Ein Skalarprodukt σ auf dem unendlichdiensionalen Raum C[a, b] liegt inC[a, b] × C[a, b] ∋ (f,g) ↦−→∫ baf(t)g(t)dt ∈ IRvor. Die Definitheit folgt aus der Tatsache, daß eine stetige Funktion genau dann nichtverschwindet, wenn sie in einem Teilintervall nicht verschwindet. Die davon induzierteNorm ‖·‖ σ istC[a, b] ∋ f ↦−→∫ba|f(t)| 2 dt ∈ IR .Analog zu Beispiel 8.14 schließt man, daß (X, σ) kein Hilbertraum ist. 2