Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 251Schritt 5 Berechne die eindeutige Lösung d vonA(µ 1 |···|µ m )d = a r (9.6)Der Vektor d enthält die Koordinaten der Darstellung von a r durch die Basis a µ 1,...,a µm .Wir diskutieren die Bedeutung von d für das weitere Vorgehen. Definiere dazu für ɛ ∈ IRden Vektor x(ɛ) ∈ IR n,1 durch⎧⎪⎨ ˜x i − ɛd i , falls j = µ ix(ɛ) j := ɛ ,falls j = r .⎪⎩0 , sonstDamit gilt also für ɛ ∈ IR :undm∑m∑Ax(ɛ) = (˜x i − ɛd i )a µ i+ ɛa r = ˜x i a µ i= bi=1i=1 =m∑(˜x i − ɛd i )c µi + ɛc ri=1= −ɛ(< c(µ 1 |···|µ m ),d>−c r )= −ɛ(< y,A(µ 1 |···|µ m )d>−c r )= − ɛ∆ rLemma 9.49Ist d gemäß (9.6) berechnet und gilt d ≤ θ, dann ist das Problem (LOP ) unlösbar.Beweis:Es gilt offenbar x(ɛ) ∈ Z für alle ɛ ≥ 0. Dies zeigtinf = −∞.ɛ≥0Schritt 6 Ist d ≤ θ, so ist das Problem (LOP )nichtlösbar.STOPSchritt 6 nennen wir den Lösbarkeitstest. Fällt er negativ aus, d.h. tritt d ≤ θ nichtein, fahren wir so fort:ɛ ′ := min{ ˜x i d −1i |d i > 0, 1 ≤ i ≤ m}.Damit giltx(ɛ ′ ) ∈ Z, x(ɛ ′ ) l =0für ein l ∈{µ 1 ,...,µ m }.(Beachte: ɛ ′ ist das größtmögliche ɛ ≥ 0, für das x(ɛ) zulässig bleibt.)