Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 84Definition 4.11Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ).Wir nennen Kern(L) :=L −1 (θ) den Kern von L und def (L) :=dim IK Kern(L) denDefekt von L.2Folgerung 4.12Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dann ist L injektiv genaudann, wenn def (L) =0ist.Beweis:Dies ist nur eine Umformulierung der Definition des Defektes.Definition 4.13Seien X, Y IK –Vektorräume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ).Wir nennen Bild (L) :=L(X) das Bild von L und rg(L) :=dim IK Bild(L) denRang von L.2Folgerung 4.14Seien X, Y IK –Vektorräume, sei dim IK Y < ∞, und sei L ∈ Hom IK (X, Y ). Dannist L surjektiv genau dann, wenn rg(L) =dim IK Y ist.Beweis:Dahinter verbirgt sich nur eine Umformulierung der Definition des Ranges. Die Voraussetzung“dim IK Y