Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Kapitel 3VektorräumeHier legen wir die Grundlagen für die Theorie der Vektorräume. Von außerordentlicherBedeutung wird der Begriff der Basis sein.3.1 GruppenDefinition 3.1Eine Menge G zusammen mit einer Verknüpfung • : G × G ∋ (a, b) ↦−→ a • b ∈ Gheißt eine Gruppe genau dann, wenn gilt:(N) Es gibt ein Element e ∈ G mit a • e = e • a = a für alle a ∈ G.(I) Zu jedem a ∈ G gibt es ein Element ā ∈ G mit a • ā =ā • a = e.(A) Für alle a, b, c ∈ G gilt a • (b • c) =(a • b) • c.Ist zusätzlich noch(K) Für alle a, b ∈ G gilt a • b = b • a.erfüllt, so heißt die Gruppe kommutativ.2Sei G eine Gruppe.Die Bedingung (N) besagt, daß es ein bezüglich der Verknüpfung “•“ neutrales Elemente in G gibt. Ist e ′ ein weiteres neutrales Element in G, so lesen wir ause ′ = e ′ • e = e–wirhabendabei(N) zweimal verwendet – ab, daß das neutrale Element in einer Gruppeeindeutig bestimmt ist.Das in der Bedingung (I) eingeführte Element ā heißt das zu a inverse Element. Esistebenfalls eindeutig bestimmt, denn ausa • ā =ā • a = e, a• ā ′ =ā ′ • a = e,45