Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 13Definition 1.19Sei X eine Menge.(a) M heißt endlich, wenn es ein N ∈ IN und eine bijektive Abbildungξ : M −→ {1,...,N} gibt. Da nach Satz 1.18 die Zahl N eindeutig bestimmtist, ist die Schreibweise #M := N wohldefiniert.(b) M heißt abzählbar unendlich, wenn es eine bijektive Abbildungξ : M −→ IN gibt. Wir schreiben dann #M = ∞ .(c) M heißt abzählbar, wenn M endlich oder abzählbar unendlich ist.2Die obige Definition sagt also, daß wir die Elemente einer (endlichen) Menge M gezählthaben, wenn wir eine Bijektion φ : M −→ {1,...,N} gefunden haben; das Zählergebnisist #M := N.Man beachte, daß es Mengen gibt, die nicht abzählbar sind. Ein wichtiges Beispiel istM := IR . Das Cantorsche Diagonalisierungsverfahren, das üblicherweise in der Analysisim Zusammenhang mit der Dezimalbruchentwicklung vorgestellt wird, belegt dies.Satz 1.20Sei X eine Menge mit #X = N.Dann gilt #P(X) =2 N .Beweis:Wir beweisen die AussageX Menge mit #X = n =⇒ #P(X) =2 ndurch vollständige Induktion nach n.n=1: Hier ist X = {x} und daher P(X) ={∅, {x}}, #P(X)=2.(Wir hättenauchmitn = 0 beginnen können. Hier ist X = ∅ und daher P(X) ={∅}, #P(X) =1=2 0 .)n+1: Es ist etwa X = {a 1 ,...,a n+1 } . Setze X ′ := {a 1 ,...,a n } . Die Induktionsannahmebesagt #P(X ′ )=2 n .Sei nun A eine Teilmenge von X.Ist a n+1 ∈ A, dann ist A = {a n+1 }∪A ′ mit A ′ ∈P(X ′ ) .Ist a n+1 /∈ A, dann ist A ∈P(X ′ ) . Dies zeigt #P(X) =2 n +2 n =2 n+1 .Definition 1.21Sei f : X −→ Y eine Abbildung und sei A ⊂ X. Dann heißtf |A: A ∋ x ↦−→ f(x) ∈ Ydie Einschränkung von f auf A.2