Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 172Die Lösung x des Gleichungssystems ist dann also gegeben durch1x =det(A) A# b.Unter Ausnutzung der Definition von A # erhalten wir1x j =det(A) det((a1 | ...|a j−1 | b |a j+1 | ...|a n )) , 1 ≤ j ≤ n.Diese Darstellung der Lösungskomponenten heißt Cramersche Regel.Wie bereits früher vermerkt, hat G.W. Leibniz (1646 – 1716) die 3×3 – Determinante als Hilfsmittel,ein lineares Gleichungssystem in 2 Unbekannten und drei Gleichungen zu lösen, beschrieben.Von C. MacLaurin (1698 – 1746) wurde 1748 eine Lösungsmethode für ein lineares 4 × 4 GleichungssystemHilfe von Determinanten angegeben. G. Cramer (1704 – 1752) verallgemeinerte 1750diese Methode auf ein n × n – Gleichungssystem (siehe Cramersche Regel). Von P.S. Laplace (1749-1827) stammt der Entwicklungssatz, den Multiplikationssatz hat A.-L. Cauchy (1789 – 1857) bewiesen.Von ihm stammt die Bezeichnung “Determinante“. Unabhängig davon hat J.L. Lagrange(1736 – 1813) 3 × 3– Determinanten zur Volumenmessung bei Pyramiden verwendet.Satz 7.19Sei n ≥ 2 und sei A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)n∈ IK n,n .∑(a) Für jedes i ∈{1,...,n} gilt det(A) = n (−1) i+j a ij det(A ij ) .∑(b) Für jedes j ∈{1,...,n} gilt det(A) = n (−1) i+j a ij det(A ij ) .Beweis:Wir beweisen nur (b). Nach Lemma 7.18 gilt A # A =det(A)E. Daraus folgtdet(A) ===j=1i=1n∑a # ija iji=1n∑a ij det((a 1 | ...|a j−1 |e i |a j+1 | ...|a n ))i=1n∑(−1) i+j a ij det(A ij )i=1Der Satz 7.19 enthält den Laplaceschen Entwicklungssatz: Entwicklung nach der i–tenZeile ((a)), Entwicklung nach der j–ten Spalte ((b)).Mitunter verwenden wir die auch anderswo zu findende Schreibweise∣ ⎛⎛⎞⎞a 11 ··· a ∣∣∣∣∣∣∣ 1na 11 ··· a 1n. . für det ⎜⎜⎟⎟⎝⎝. . ⎠⎠ .∣ a n1 ··· a nn a n1 ··· a nn