Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 36Algorithmus “Rückwärtsubstitution“:EIN Reguläre Matrix A ∈ IK n,n von oberer Dreicksgestalt.SCHRITT 1 i := n.SCHRITT 2 x i := b i .SCHRITT 3 F ür j =(i + 1)(1)n x i := x i − a ij x j .SCHRITT 4 x i := x i /a ii .SCHRITT 5 Ist i>1, gehe mit i := i − 1 zu SCHRITT 2, sonst zu AUS .AUS Lösungsvektor x =(x 1 ,...,x n ) .(Den Lösungsvektor haben wir in AUS aus Platz–ökonomischen Gründen als n-Tupel undnicht als Spaltenvektor geschrieben).Es ist nun erstrebenswert, eine beliebige Matrix auf eine obere Dreiecksgestalt zu transformieren,sodaß die sich der Lösungsraum nicht verändert. Dieses leistet das Eliminationsverfahren,das nach Gauß benannt ist, das allerdings für konkrete Fälle schon sehrviel früher Anwendung fand.Aus dem 2. Jahrhundert n. Chr. gibt es eine Übersetzung der “Neun Bücher über die Kunst derMathematik“, die wohl im 2. Jahrhundert v. Chr. aufgeschrieben wurden; das Methodenmaterialkann aber durchaus älter sein. Diese Bücher sind eine Art Lehrbuch für Verwaltungsbeamte. ImVIII. Buch ist folgende Aufgabe enthalten:Aus drei Garben einer guten Ernte, 2 Garben einer mittelmäßigen Ernte, und 1 Garbe einer schlechtenErnte erhält man den Ertrag von 39 Tou. Aus 2 Garben einer guten Ernte, 3 Garben einermittelmäßigen Ernte und 1 Garbe einer schlechten Ernte erhält man 34 Tou. Aus 1 Garbe guterErnte, 2 Garben mittelmäßiger Ernte und 3 Garben schlechter Ernte erhält man 26 Tou. Wievielist der Ertrag einer Garbe?Diese Aufgabe wurde in eine rechteckige Tabelle gebracht (Matrixschema !) und nach Regeln(“Immer multipliziere mit der Garbenzahl der guten Ernte mit der ... ), die den Eliminationschritten(siehe unten) entsprechen, auf eine Dreieckstabelle gebracht. Dabei können auch negative”Zahlen – sie treten hier wohl erstmals in der Geschichte der Mathematik auf – auftreten, für denUmgang dafür wurden Regeln angegeben. Wir können das resultierende rechteckige Schema nunals lineares Gleichungssystem mit einer Systemmatrix von oberer Dreiecksgestalt lesen:⎛⎝ 3 2 1⎞ ⎛0 5 1 ⎠ ⎝ x ⎞1x 2⎠ =0 0 36 x 3⎛⎝ 392439NunwirdmitRückwärtssubstitution gelöst.Die Idee der Elimination wurde auch studiert von Diophantos aus Alexandrien (um 250 n. Chr.).⎞⎠ .Welche Manipulationsschritte – wir nennen sie nun elementare Umformungen –sindes, die wir auf ein lineares Gleichungssystem anwenden dürfen, ohne die Lösungsmengezu verändern? Es sind dies: