Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 49Offenbar ist (G := IT n , • := ⊕) eine abelsche Gruppe.Für jedes α ∈ IR n können wir durcheine Abbildung erklären. Die FamilieT α : IT n ∋ [x] ↦−→ [x + α] ∈ IT nT := {T α |α ∈ IR n }ist nun selbst wieder eine abelsche Gruppe, wenn die Verknüpfung so erklärt ist:T α • T β := T α ◦ T β = T α+β ,α,β∈ IR n .Das neutrale Element ist id IT n = T θ und das Inverse von T α ist T −α .Von besonderem Interesse ist der Fall n =1,q =2π. Hier können wir IT 1 durch dieinjektive AbbildungIT 1 ∋ [φ] ↦−→ (cos φ, sin φ) ∈ IR 2in IR 2 “einbetten“. Also haben wir mit K 2 := {(x, y) ∈ IR 2 |x 2 + y 2 =1} die bijektiveAbbildungj : IT 1 ∋ [φ] ↦−→ (cos φ, sin φ) ∈ K 2 ,d.h. IT 1 können wir als eine “Kopie“ des Einheitskreises K 2 in IR 2 ansehen (Daraus leitetsich ab, IT n als Einheitssphäre in IR n+1 zu bezeichnen.) Die Abbildungenkönnen wir dann zu AbbildungenT α : IT 1 ∋ [x] ↦−→ [x + α] ∈ IT 1“hochheben“:D α : K 2 ∋ (cos φ, sin φ) ↦−→ (cos(φ + α), sin(φ + α)) ∈ K 2↑ K 2⏐ jIT 1D α−→↑ K2⏐ jT α−→ IT1Mit diesen Überlegungen ist bereits ein Ansatz dafür geschaffen, geometrische Objekte alsinvariante Objekte von Abbildungen zu studieren; “Drehungen“ D α spielen eine wichtigeRolle dabei. 2Nach F. Klein (1849 – 1925) erhält man eine Geometrie, indem man aus der Gruppe B der Bijektionenvon IR 2 auf sich selbst eine Untergruppe G, also eine Teilmenge G, aus der die Verknüpfungder Gruppe B nicht herausführt, auswählt. Ist dann F eine geometrische Figur in der “Ebene“ IR 2 ,so ist eine Eigenschaft von F in der durch G ausgesonderten Geometrie eine Invariante, falls jedesBild g(F ),g∈ G, diese Eigenschaft hat. Wenn man für G etwa die die von den Translationen, Drehungen,Spiegelungen erzeugte Gruppe der euklidischen Bewegungen nimmt, so ist die entstehendeGeometrie die euklidische Geometrie der Ebene. (Dazu später mehr.)