Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 62Folgerung 3.31Sei V ein IK – Vektorraum. Seien a, b ∈ IK ,u,v ∈ V .Esgilt:(1) 0 · v = θ,a· θ = θ.(2) a · v = θ ⇐⇒ a =0oder v = θ.(3) (−a) · v = −(a · v) =a(−v), (−1)v = −v.(4) a · (u − v) =a · u − a · v.Beweis:Der Beweis sei dem Leser überlassen. Man orientiere sich an Folgerung 3.22.Der Begriff eines (endlich erzeugten) Vektorraums findet sich präzise formuliert bei H. Grassmann(1809 – 1877), seine Ideen wurden aber erst nach seinem Tod aufgegriffen, insbesondere von G.Peano (1858 – 1932). Ihm standen nun die mengentheoretischen Sprechweisen zur Verfügung, erbeschränkte sich auch nicht auf endlich erzeugte Vektorräume. In Lehrbüchern findet sich der Begriffdes abstrakten Vektorraums zu Beginn des 20. Jahrhunderts.Beispiel 3.32Sei IK ein Körper und seien m, n ∈ IN . Die Menge IK m,n haben wir in Abschnitt 2.2für IK ∈{′Q, IR } eingeführt. Die dortige Definition ist sofort für jeden Körper sinnvoll,ebenso die dort eingeführten Verknüpfungen. Wir wiederholen die Definitionen:IK m,n := { }A | A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)nwobei die Einträge a ij einer Matrix A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)naus IK genommen werden.Addition:+:IK m,n × IK m,n ∋ (A, B) ↦−→ A + B := (a ij + b ij ) i=1(1)m , j =1(1)n∈ IK m,nSkalare Multiplikation:wobei A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n,B=(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n.· : IK × IK m,n ∋ (r, A) ↦−→ r · A := (r · a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n∈ IK m,nwobei A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n.Die in Abschnitt 2.2 angegebene Multiplikation spielt hier zunächst keine Rolle.Es ist nun offensichtlich, daß damit IK m,n ein IK – Vektorraum wird. Von besonderemInteresse ist der Fall IK m,1 (Spaltenvektoren) und der Fall IK 1,n (Zeilenvektoren). Diesestehen nur in unterschiedlicher Notation für den IK – Vektorraum IK m bzw. IK n . 2