Lineare Algebra und Analytische Geometrie

3. r =0,t=2: q(a 1 x 1 + a 2 x 2 )=a 2 1 + a2 2 . 2Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 221Um (a) zu erreichen, müssen wir eventuell nur noch die Reihenfolge in der Basis ändern.Für (b) ersetze x i durch µ −2i x i , falls µ i ≠ 0 ist. Damit sind (a) und (b) bewiesen, es bleibtnur noch der Zusatz über die Unabhängigkeit von t und n − r von der gewählten Basiszu zeigen. Sei v 1 ,...,v ρ ,...,v ρ+τ ,...,v n eine zweite Basis, die (a) und (b) erfüllt.Setze:U + := L({x r+1 ,...,x r+t }),U − := L({x r+t+1 ,...,x n }),V + := L({v ρ+1 ,...,v ρ+τ }),V − := L({v ρ+t+1 ,...,x n }).Dann ist U + ∩ V − = {θ}, da T auf U + positiv definit und auf V − negativ definit ist.Genauso gilt U − ∩ V + = {θ}. Also dim V + ≤ dim U + , dim U + ≤ dim V + , d.h. r = ρ, t = τ.Der obige Satz heißt Trägheitssatz von Sylvester. DieimSatzdefiniertenZahlentund n − r nennen wir den Trägheitsindex bzw. den Rang der Bilinearform.Etwa um 1850 bewiesen C.G.J. Jakobi (1804 – 1851) und J.J. Sylvester (1814 – 1897) unabhängigvoneinander die Existenz der Trägheitsindizes als Invarianten gegenüber linearen Transformationen.Damit nahm das Problem der Klassifikation von Quadriken eine beträchtliche Entwicklung.Die Klassifikation von quadratischen Formen illustrieren wir am einfachsten Fall:Beispiel 8.58Sei X IR −Vektorraum der Dimension 2. Der Trägheitssatz liefert folgende Fälle.1. r =1,t=1: q(a 1 x 1 + a 2 x 2 )=a 2 1.2. r =0,t=1: q(a 1 x 1 + a 2 x 2 )=a 2 1 − a 2 2.Bemerkung 8.59Ist (X, σ) ein euklidischer Raum, dann definiert jede symmetrische Matrix A ∈ IR n,ndurch T (x, x) :=σ(x, Ax) ,x∈ X, eine symmetrische Bilinearform; davon gilt auch dieUmkehrung (siehe Satz 8.20. Also kann man daher den Satz 8.57 auch als Resultat überdie Normalform einer symmetrischen Matrix verstehen: Ist A ∈ IR n,n eine symmetrischeMatrix,dann gibt es eine orthogonale Matrix M ∈ IR n,n mit M t AM = diag(Θ,E,−E).Damit wird auf dem raum der symmetrischen Matrizen eine Äquivalenzrelation erzeugt.Rang und Trägheitsindex (der zugehörigen quadratischen Form) bestimmen die Äquivalenzklassen.Ein entsprechendes Ergebnis gilt auch im Fall eines unitären Raumes. 2Der Vollständigkeit halber führen wir noch an: