Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 79gilt. Hierbei haben wir der besseren Lesbarkeit wegen für die Addition + das Symbol ⊕und für die skalare Multiplikation · das Symbol ⊙ (wie früher) eingesetzt.(Diagramme erfreuen sich in der Algebra großer Beliebtheit.)Es sollte klar sein, daß die Hintereinanderausführung (Komposition) von linearen Abbildungenselbst wieder linear ist.Beispiel 4.2Sei IK ein Körper. IK –lineare Abbildungen sind:• id IK : IK −→ IK ,• Θ IK : IK ∋ a ↦−→ θ ∈ IK ,• +:IK × IK ∋ (a, b) ↦−→ a + b ∈ IK ,• S : IK × IK ∋ (a, b) ↦−→ (a, −b) ∈ IK × IK• π j : IK n ∋ (x 1 ,...,x j ,...,x n ) ↦−→ x j ∈ IK(Spiegelung),(Projektion),• T A : IK n,1 ∋ x ↦−→ Ax ∈ IK m,1 , wobei A eine Matrix in IK m,nist.Keine IK –lineare Abbildung istIK 2 ∋ (x 1 ,x 2 ) ↦−→ x 1 x 2 ∈ IK .2Die Schreib– und Sprechweise “L IK –linear“ verkürzen wir meist zu “Lder Regel klar ist, welcher Körper gemeint ist.linear“, da inSei X ein IK –Vektorraum mit Basis {x 1 ,...,x n }. Dann haben wir die Abbildungn∑k X : X ∋ x = a i x ii=1↦−→ (a 1 ,...,a n ) ∈ IK noderodern∑k X : X ∋ x = a i x i ↦−→ (a 1 ...a n ) ∈ IK 1,ni=1n∑k X : X ∋ x = a i x ii=1↦−→⎛ ⎞a 1⎜ ⎟⎝ . ⎠ ∈ IK n,1 .a nJede dieser Abbildungen heißt Koordinatenabbildung. Wir sprechen aus naheliegendenGründen von der Koordinatenabbildung und verwenden jede “Realisierung“ ihrem Zweckentsprechend. Sie ist wohldefiniert, da die Darstellung eines Elementes x ∈ X durch die