Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 68Definition 3.48Eine Menge E ⊂ V heißt linear unabhängig genau dann, wenn(E ′ ⊂ E,E ′ endlich =⇒ E ′ linear unabhängig) ,gilt, anderenfalls linear abhängig.2Lineare Unabhängigkeit taucht erstmals bei L. Euler (1707 – 1783) im Zusammenhang mit linearenDifferentialgleichungen auf. Klar ausformuliert wird der Begriff dann von A.-L. Cauchy (1789 –1857).Offenbar ist die Menge {u} in einem IK –Vektorraum linear abhängig genau dann, wennu = θ gilt.Manchmal fassen wir Vektoren v 1 ,...,v r nicht zu einer Menge {v 1 ,...,v r } zusammen,um sie dann als linear unabhängig/linear abhängig zu bezeichnen, wir sagen stattdessenkurz, v 1 ,...,v r sind linear unabhängig/linear abhängig.Beispiel 3.49Offenbar ist IR ein ′Q–Vektorraum. Die reellen Zahlen 1, √ 2, √ 3 sind in diesem Vektorraumlinear unabhängig. Dies sieht man so:Ausa · 1+b √ 2+c √ 3=0 (a, b, c ∈′Q)folgta 2 =2b 2 +3c 2 +2bc √ 6 ,was √ 6 ∈′Q impliziert, falls bc ≠0ist.Aber √ 6istnichtin ′Q (Beweis!). Also ist bc =0.Ist etwa c = 0, dann haben wira · 1+b √ 2=0.Da √ 2 nicht in ′Q ist, ist b =0. Nach b = c = 0 folgt nun schließlich a =0. 2Das nun folgende Lemma wollen wir das Abhängigkeitslemma nennen.Lemma 3.50Sei V ein IK –Vektorraum. Sind u 1 ,...,u n linear unabhängig und sind u 1 ,...,u n ,ulinear abhängig, dann ist u eine Linearkombination der Elemente u 1 ,...,u n , d.h.u ∈L({u 1 ,...,u n }) .Beweis:Da u 1 ,...,u n ,u linear abhängig sind, gibt es (a 1 ,...,a n ,a) ∈ IK n+1 \{θ} mitn∑a i u i + au = θ.i=1