Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 193Aus der Analysis wissen wir, daß IR und ′C , betrachtet als normierter Raum – die Normist der Abstand –, vollständig sind. Daraus schließt man sofort, daß auch (IR n , ‖·‖ ∞ ) und( ′C n , ‖·‖ ∞ ) vollständig sind. Mit der Ungleichung (8.1) folgt dann, daß sogar (IR n , ‖·‖ p )und ( ′C n , ‖·‖ p ) , 1 ≤ p ≤∞, vollständig sind.Aus der Analysis wissen wir, daß die Einheitskugel B 1 (θ) in(′C n , ‖·‖ ∞ )kompaktist.Meist wird dieser Sachverhalt aber so ausgedrückt:Jede beschränkte Folge in B 1 (θ) hat eine konvergente Teilfolge.(Eine Folge (x n ) n∈IN in einem normierten Raum (X, ‖·‖)heißtbeschränkt, falls es einr>0 gibt mit x n ∈ B r (θ) für alle n ∈ IN .) DieÄquivalenz dieser Aussage beweist man(in der Analysis) sehr einfach.Wir benötigen die Kompaktheit in normierten Räumen meist in der folgenden äquivalentenAussage:K ist genau dann kompakt, wenn jede Folge in K eine konvergente Teilfolgemit Grenzwert in K besitzt.Insbesondere ist jede kompakte Menge abgeschlossen (siehe Lemma 8.6). Für den Beweisverweisen wir auf die Analysis.Definition 8.8Seien (X, ‖·‖ X ), (Y,‖·‖ Y ) normierte Räume. Eine Abbildung f : D −→ Y,D ⊂ Xheißt stetig in x 0 ∈ D genau dann, wenn gilt:∀ε >0 ∃δ >0 ∀x ∈ D(‖x − x 0 ‖ X