Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 255enthält alle Größen, die in Schritt 1 bis 7 benötigt werden; Schritt 2 ist als Zwischenschrittfür Schritt 3 nicht nötig, da der Schlupf durch elementare Umformungen berechnet werdenkann (siehe oben).Beispiel 9.53Als Starttableau (β = {1, 2}) habenwirnun1 2 3 41 1 0 1 0 22 0 1 −1 1 10 0 −2 3 5Schritt 1: ˜x =(2, 1) ,x=(2, 1, 0, 0).Schritt 3: Keine Optimalität, da ∆ 4 > 0 .Schritt 4: r =4.Schritt 5: d =(0, 1) .Schritt 6: Lösbarkeit kann nicht ausgeschlossen werden.Schritt 7: d 2 > 0; also s =2, da ˜x 2d 2= 1 1 .Gehe mit β ′ := {1, 4} zu Schritt 1. 2Um Schritt 7 einfacher auswerten zu können, ist es sinnvoll dem Tableau eine weitereSpalte anzuhängen. Sie wird in Schritt 7 ausgefüllt und enthält die Größenu i = α i,0, 1 ≤ i ≤ m,α i,rwobei wir u i = ∞ für α i,r ≤ 0 vereinbaren. Damit können wir dann ein s leicht ermitteln.Wir haben nun noch zu überlegen, wie wir aus dem Simplextableau zur Basis β dasSimplextableau zur Basis β ′ erhalten. Dies entspricht einem Basiswechsel, der allerdingsnur in einem Vektor vollzogen wird.Wir wissen aus Schritt 7:α s,r > 0 ,a µ 1,...,a µs ,...,a µn ist Basis von IR m .Es gilta r = ∑ k≠sα k,r a µ k+ α s,r a µs ,a µs = − 1 ( ∑ α k,r a µ k+ a r ).α s,r k≠sDamit erhalten wir für 1 ≤ j ≤ na j = ∑ k≠sα k,j a µ k+ α s,j a µs ,d.h.a j = ∑ (α k,j − α s,jα k,r )a µ k+ α s,ja r .αk≠ss,r α s,r