Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 88Der Vektor x = a 1 x 1 +a 2 x 2 ∈ X entspricht im Koordinatensystem der Punkt P ,denmanso erhält:Trage von θ aus a 1 Einheiten auf g 1 , a 2 Einheiten auf g 2 ab und hefte das enstehendeGeradensegment auf g 2 durch Parallelverschiebung an das Geradensegment auf g 1 an; derEndpunkt des angehefteten Segments ist der Punkt P .Lineare Abbildungen zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen kann man konkret mitHilfe von Matrizen beschreiben.Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume und seiL : X −→ Y (4.3)eine IK –lineare Abbildung. Sei n := dim IK X, m := dim IK Y, und seien{x 1 ,...,x n }, {y 1 ,...,y m } (4.4)Basen von X bzw. Y .Istn∑x = a j x j ,j=1dann ist wegen der Linearität von L das Bild L(x) gegeben durchMan sieht daran zweierlei:n∑L(x) = a j L(x j ) .j=1• Die Abbildung L ist vollständig angeben, wenn die Werte L(x j ) ,j=1(1)n, festgelegtsind.• Der Vektor L(x) läßt sich in der Basis {y 1 ,...,y m } darstellen, wenn die BilderL(x j ) ,j=1(1)n, in der Basis {y 1 ,...,y m } dargestellt sind.Seien alsom∑L(x j )= a ij y i ,j=1(1)n.i=1Dann istn∑ m∑m∑ n∑L(x) = a j ( a ij y i )= ( a ij a j )y i .j=1 i=1i=1 j=1Dies zeigt uns, daß wir die Abbildung L : X −→ Y bei gegebenen Basen vollständig mitHilfe der MatrixA L =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n(4.5)beschreiben können: Ist⎛ ⎞a 1a = ⎜ ⎟ n,1⎝ . ⎠ ∈ IKa n