Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 35Definition 2.10(a) Eine Matrix A = (a ij ) i=1(1)m , j =1(1)nheißt von oberer Dreiecksgestalt,wenna ij =0, falls i>j,gilt.(b) Eine Matrix A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)nheißt Diagonalmatrix, wenn gilt:a ij =0, falls i ≠ j.2In der “einfachsten“ Situation m = n = 2 hat ein Gleichungssystem mit einer Systemmatrixvon oberer Dreiecksgestalt folgende Form:( )( )a11 a 12 x10 a 22 x 2Nun ist klar: Ist a 11 a 22 ≠0,solöst man so:=(b1b 2).x 2 := a −122 b 2 ,x 1 := (b 1 − a −122 a 12b 2 )a −111 .Dies ist die 2 × 2 – Version eines Algorithmus, der Rückwärtssubstitution genanntwird. In der Einführung haben wir in (2.2),(2.4) ein solches System vorgefunden.Definition 2.11Eine Matrix A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)nvon oberer Dreiecksgestalt heißt regulär, fallsa 11 ···a nn ≠0,anderenfalls singulär.2Beachte, daß eine Diagonalmatrix eine Matrix von oberer Dreiecksgestalt ist und damitauch Regularität und Singularität für diesen Typ von Matrizen erklärt ist. Das Produkta 11 ···a nn ist im Spezialfall n =2,a 21 = 0 gerade die im Abschnitt 2.1 eingeführte Größe∆ .Die Bedeutung des Begriffs “regulär“, der später eine Erweiterung erfahren wird, liegt beiSystemen mit einer Systemmatrix von oberer Dreiecksgestalt darin, daß die eindeutigeLösbarkeit durch diese Eigenschaft gesichert wird (Lösbarkeit alleine kann auch ohnediese Bedingung vorliegen). Dies ist eine Konsequenz aus dem folgenden Algorithmus, derdie Lösung eines Gleichungssystems mit einer Systemmatrix von oberer Dreiecksgestaltbeschreibt.