Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 48Beispiel 3.7Wir kennenaus Abschnitt 1.5 und wissen, daß durchZZ m = {[0],...,[m − 1]} ,m∈ IN ,[k] ⊕ [l] :=[k + l] , [k] ⊙ [l] :=[k · l] ,k,l∈ ZZ ,eine Addition und Multiplikation erklärt ist.(G := ZZ m , • := ⊕) ist eine kommutative Gruppe ;das neutrale Element ist die Klasse [0] . Dieses Ergebnis gilt unabhängig von m. BeiderMultiplikation liegt die Situation etwa anders. Hier benötigen wir für die Aussage(G := ZZ m \{[0]}, • := ⊙) ist eine Gruppedie Tatsache, daß m eine Primzahl ist. Dies sieht man daran, daß etwa [2] ⊙ [2] = [0]in ZZ 4 gilt, d.h. die Verknüpfung führt dort aus G heraus. (Wenn wir [0] zu G wiederhinzunehmen, hat [0] kein Inverses!) Klar, der Kandidat für das neutrale Element dieserVerknüpfung ist die Klasse [1].Die Gruppentafeln, so bezeichnen wir eine vollständige Auflistung der Verknüpfungender Gruppenelemente, zu m = 5 sehen so aus:⊕ [0] [1] [2] [3] [4][0] [0] [1] [2] [3] [4][1] [1] [2] [3] [4] [0][2] [2] [3] [4] [0] [1][3] [3] [4] [0] [1] [2][4] [4] [0] [1] [2] [3]⊙ [1] [2] [3] [4][1] [1] [2] [3] [4][2] [2] [4] [1] [3][3] [3] [1] [4] [2][4] [4] [3] [2] [1]Man beachte, daß sowohl in der Gruppentafel zur Addition als auch in der Gruppentafelzur Multiplikation in jeder Zeile und Spalte jede Klasse genau einmal vertreten ist. 2Beispiel 3.8Sei q =(q 1 ,...,q n ) ∈ IR n ,q≠ θ. Wir definieren in IR n eine Äquivalenzrelation durchx ∼ y : ⇐⇒ x i − y i = k i q i mit k i ∈ ZZ , 1 ≤ i ≤ n.Damit setzen wirIT n := IR n / ∼:= {[x]|x ∈ IR n }und erklären eine Addition in IT n durch[x] ⊕ [y]:=[x + y] ,x,y∈ IR n .