Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 44Satz 2.22Sei E⊂IK 3 . Dann sind äquivalent:(a) E ist Ebene.(b) Es gibt a ∈ IK 3 ,a≠ θ, und b ∈ IK mitE = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ IK 3 |a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b} .Beweis:Den Beweis dazu wollen wir hier noch nicht führen, denn er ist mit den hier bekanntenHilfsmitteln etwas mühsam. Später fällt er wirklich sehr leicht.Damit ist nun klar, daß eine Ebene im Anschauungsraum als Lösungsmenge einer (nichttrivialen)linearen Gleichung auftritt.Die Forderungu ≠ θ, v ≠ tv für alle t ∈ IK—manüberlege sich, daß sie äquivalent ist zu v ≠ θ, u ≠ tv für alle t ∈ IK —inobigerDefinition 2.21 besagt, daß die Ebene nicht zu einer Geraden in IK 3 entartet. Später wirddiese Forderung die äquivalente Formulierung “u, v sind linear unabhängig“ erhalten.Wir haben zwar die Charakterisierung der Geraden im “Anschauungsraum“ IK 3 nichtbehandelt, nach Satz 2.22 sollte aber klar sein, daß eine Gerade in IK 3 als Schnitt vonzwei Ebenen in IK 3 auftreten sollte, also eine Menge von folgender Form sein sollte:G = {(x 1 ,x 2 ,x 3 ) ∈ IK 3 |a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b, a ′ 1 x 1 + a ′ 2 x 2 + a ′ 3 x 3 = b ′ } .Hier ist dann die Frage zu klären, wann sich zwei Ebenen schneiden und so eine Geradedefinieren. Dieser Frage gehen wir unter dem Abschnitt “Gleichungssysteme“ im Kapitel4nach.Auf die grundsätzlichen Fragen, die mit den Begriffen Gerade und Ebene bei der axiomatischenFundierung auftreten, gehen wir im Kapitel über Geometrie ein.