Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 234Die Methode der kleinsten Quadrate wurde erstmals von C.F. Gauß (1777 – 1855) im Rahmenseiner Studien in der Geodäsie dargelegt (1821). Nicht nur der Reichtum der Ideen, sondern auchsein außergewöhnlicher Fleiß in der Durchführung von endlosen Zahlenrechnungen sind in diesemZusammenhang beeindruckend. In der mathematischen Statistik wird gezeigt, daß die Ausgleichslösungbesonders einfache statistische Eigenschaften besitzt.Definition 9.24Eine Pseudollösung ˆx von Gleichung (9.1) heißt normal, falls gilt:‖ˆx‖ 2 =inf{‖x 0 ‖ 2 |x 0 Pseudolösung von (9.1)}.2Da die Menge der Pseudolösungen von (9.1) konvex und abgeschlossen ist – dies schließtman aus Folgerung 9.23 – , ist nach Satz 9.17 die normale Pseudolösung eindeutig bestimmt.Man kann sie finden als die Pseudolösung, die in Kern(A t ) ⊥ liegt. Verfahren wiedas QR-Verfahren – A wird dargestellt als QR mit einer orthogonalen Matrix Q und eineroberen Dreiecksmatrix R – sind in der Lage diese normale Lösung zu finden.9.3 Der Satz von Hahn – Banach *Wir kehren nun zum Abschnitt über normierte Räume zurück.Ist X ein IK – Vektorraum, dann wissen wir aus Abschnitt 4.6, daßX ′ := {λ : X −→ IK |λ linear}wieder ein IK −Vektorraum ist; wir hatten ihn als algebraischen Dualraum bezeichnet. Istnun X sogar ein normierter Vektorraum, so werden wir unter Einbeziehung der zusätzlichenStruktur (Normierung/Stetigkeit) zuX ∗ := {λ : X −→ IR |λ ∈ X ′ ,λ stetig}geführt. Klar, auch X ∗ ist wieder ein IR −Vektorraum; wir nennnen ihn den stetigenDualraum von X und jedes λ ∈ X ∗ nennen wir eine stetige Linearform. X ∗ ist sogarwieder ein normierter Vektorraum, da offenbar‖·‖ ∗ : X ∗ ∋ λ ↦−→sup | |∈IR‖x‖≤1dank Satz 8.16 eine Norm auf X ∗ ist. Die Reichhaltigkeit von X ′ haben wir im Folgerung4.54 gezeigt. Hier wollen wir dies für X ∗ tun. Allerdings ist festzuhalten, daß wir schonwissen, daß X ′ = X ∗ ist, wenn dim X