Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 126Definition 5.26Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Sind λ 1 ,...,λ r ∈ IK die paarweise verschiedenenEigenwerte von L mit zugehörigen Vielfachheiten β 1 ,...,β r , dann heißt das Polynomr∏χ L(z) := (z − λ l ) β l,z∈ IK ,l=1das charakteristische Polynom von L.2Beispiel 5.27Betrachte erneut⎛⎜A := ⎝−2 1 11 −2 11 1 −2⎞⎟⎠ ∈ IR 3,3(siehe Beispiel 5.22). Man liest aus der Tatsache, daß zum Eigenwert λ 2 = −3 zwei linearunabhängige Eigenvektoren existieren, ab, daß α 2 = 1 und β 2 =1ist.Alsoλ 1 =0,α 1 = β 1 =1,λ 2 = −3,α 2 =1,β 2 =2,χ A(z) =(z +3) 2 z,µ A (z) =(z +3)z.2Satz 5.28Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei der EndomorphismusL : X −→ X split über IK . Ist χ Ldas charakteristische Polynom von L, sogiltχ L(L) =Θ.Beweis:Seien λ 1 ,...,λ r ∈ IK die (paarweise verschiedenen) Eigenwerte von L mit Vielfachheitenβ 1 ,...,β r ∈ IN . Seien ferner α 1 ,...,α r ∈ IN die kleinsten Zahlen mit(L − λ j id X ) α i| H(λi ) = θ ,1 ≤ i ≤ r.Aus Lemma 5.12 und Satz 5.21 wissen wir α j ≤ β j , 1 ≤ j ≤ r. Also ist nach Satz 5.23 dasMinimalpolynom ein Teiler von χ Lund daher χ L(L) =Θ.Satz 5.28 geht auf A. Cayley zurück; er bewies das Ergebnis nur für n = 2 und n = 3. DieVerallgemeinerung – der Skalarkörper ist dann beliebig – wird als Satz von Cayley – Hamiltonbezeichnet.Der obige Satz wird als Satz von Cayley – Hamilton bezeichnet. Im Kapitel überDeterminanten kommen wir darauf zurück, auch von der Anwendungsseite her. Dort habenwir dann auch ein Hilfsmittel bereit, das es erlaubt, das charakteristische Polynom“einfach“ zu finden.