Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 63Beispiel 3.33Sei X eine nichtleere Menge und sei IK ein Körper. Wir setzenund definieren Verknüpfungen durchAbb (X, IK ):={f : X −→ IK }+:Abb (X, IK ) × Abb (X, IK ) ∋ (f,g) ↦−→ f + g ∈ Abb (X, IK ) ,(f + g)(x) :=f(x)+g(x) ,x∈ X,· : IK ×Abb (X, IK ) ∋ (a, g) ↦−→ a · f ∈ Abb (X, IK ) ,(a · f)(x) :=a · f(x) ,x∈ X,• : Abb (X, IK ) × Abb (X, IK ) ∋ (f,g) ↦−→ f • g ∈ Abb (X, IK ) ,(f • g)(x) :=f(x) · g(x) ,x∈ X.Es ist klar, daß mit “+“ und “·“ Abb (X, IK )zueinemIK – Vektorraum wird. Die Abbildung• haben wir hinzugefügt, um zu zeigen, daß Abb (X, IK ) noch eine weitere Strukturträgt. Wichtige Spezialfälle sind:X = IN , IK = IR : Abb (X, IK )stehthierfür die Menge der reellen Zahlenfolgen.X = IR , IK = IR : Abb (X, IK )stehthierfür die Menge der reellen Funktionen auf IR . 2Definition 3.34Sei V ein IK – Vektorraum. Eine Teilmenge U heißt linearer Teilraum von V,falls U zusammen mit der Einschränkung der Addition auf U × U und skalarenMultiplikation auf IK × U selbst ein IK – Vektorraum ist.2Lemma 3.35Sei V ein IK – Vektorraum, U eine Teilmenge von V . Es sind äquivalent:(a) U ist linearer Teilraum.(b) U ≠ ∅;(u, v ∈ U, a ∈ IK =⇒ u + v ∈ U, au ∈ U) .Beweis:(b) =⇒ (a) :Da die Addition und die skalare Multiplikation nicht aus U herausführt – man sagt, U istabgeschlossen bzgl. Addition und skalarer Multiplikation – leiten sich die Vektorraumaxiomefür U aus der Gültigkeit der Axiome für V ab, lediglich die Existenz eines neutralenElements und eines Inversen bzgl. der Verknüpfung “+“ ist nachzurechnen.Wähle u ∈ U. Dann ist 0 · u = θ ∈ U und θ ist auch ein neutrales Element in U.Ist x ∈ U, so ist (−1)x ∈ U und (−1)x + x = θ. Also ist (−1)x inverses Element von x.(a) =⇒ (b) :Sicherlich ist U ≠ ∅, da U ein neutrales Element bzgl. der Addition enthält. Die Abgeschlossenheitvon U bzgl. der Addition und der skalaren Multiplikation ergibt sich aus derTatsache, daß auf U Addition und skalare Multiplikation wohldefiniert sind.