Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 235Definition 9.25Sei X ein IR −Vektorraum. Ein sublineares Funktional ist eine Abbildungp : X −→ IR mit folgenden Eigenschaften:1. p(ax) =ap(x) ,a∈ [0, ∞], x∈ X.2. p(x + y) ≤ p(x)+p(y) ,x,y ∈ X.2Offenbar ist jede Norm ein sublineares Funktional.Lemma 9.26Sei X ein IR −Vektorraum, p : X −→ IR sublineares Funktional, U ⊂ X linearerTeilraum und λ 1 : U −→ IR linear. Es gelteIst dann z ∈ X\U, so gibt es≤ p(u) ∀u ∈ U.λ : W −→ IR ,W := L({z}∪U)mitBeweis:Für alle u, v ∈ U gilt:λ| U = λ 1 ,λ linear ,≤ p(w) ∀w ∈ W.+ = ≤ p(u + v)= p((u + z)+(v − z))≤ p(u + z)+p(v − z),alsoHieraus folgt−p(v − z) ≤ p(u + z)− .m := sup(< λ 1 ,v >−p(v − z)) ≤ inf (p(u + z)− )=:Mv∈Uu∈UWir wählen a ∈ [m, M] und definieren für x ∈ U und b ∈ IR := +ba.Dann ist λ : Wvon a−→ IR linear und λ| U = λ 1 . Für b>0 und x ∈ U folgt mit der Wahl ≤ +bM≤ +b(p(b −1 x + z)− )= p(x + bz).