Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 179Definition 7.29Sei X ein endlichdimensionaler IK – Vektorraum und sei L : X −→ X einEndomorphismus. Das eindeutig bestimmte Polynomx k +k−1 ∑l=0a l x l ∈ IK [x] mit L k +k−1 ∑l=0a l L l = Θheißt das Minimalpolynom von L; wir schreiben dafür µ L .2Beispiel 7.30Sei X := IR 2 und sei der Endomorphismus L : X −→ X dargestellt durch die Matrix( )0 −1A :=∈ IR1 02,2 .Das charakteristische Polynom ist offenbar χ L(λ) :=λ 2 +1. Es ist identisch mit demMinimalpolynom. Da es keine Nullstellen in IR 2 hat, ist der Endomorphismus nicht splitüber IR . Klar, über ′C ist der Endomorphismus split. 2Mit etwas Kenntnissen aus der Theorie der Ideale im Polynomring IK [x] leitet man ab,daß µ L ein Teiler des charakteristischen Polynoms χ List und daß χ Lein Teiler vonµ n L (n =dim IK X)ist.7.5 OrientierungIn IR 1 kann man eine “Orientierung“ einführen, indem man einen Halbstrahl der Zahlengeradenals positiv auszeichnet.In IR 2 erhält man eine “Orientierung“, indem man einen Drehsinn als positiv auszeichnet.Im allgemeinen ist dies der Gegenuhrzeigersinn.Im IR 3 schließlich kann man eine “Orientierung“ einführen, indem man einen “Schraubungssinn“als positiv auszeichnet. Der Physiker hat dafür die sogenannte Dreifingerregelparat.Allgemein läßt sich eine Orientierung mittels geordneter Basen einführen. Davor nochmalsein Blick auf IR 2 . In IR 2 gibt es zwei verschiedene Drehrichtungen. Man gebe sich eineBasis {a 1 ,a 2 } vor. Die Gerade L({a 1 }) kann durch die Gleichungdet(a 1 |x) =0beschrieben werden. Damit gibt es die zwei Halbebenendet(a 1 |x) > 0 , det(a 1 |x) < 0 .Die beiden Orientierungen lassen sich also dadurch unterscheiden, obdet(a 1 |a 2 ) > 0oder det(a 1 |x) < 0