Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 190Definition 8.2Sei (X, ‖·‖) ein normierter Raum und sei M ⊂ X.(a) M heißt offen, wenn für jedes x 0 ∈ M eine Kugel B r (x 0 ),r > 0, existiertmit B r (x 0 ) ⊂ M.(b) M heißt abgeschlossen, wenn X\M offen ist.(c) M heißt kompakt, wenn zu jeder offenen ÜberdeckungM ⊂ ⋃ i∈IU i ,U i offen für alle i ∈ I,Indizes i 1 , ..., i l ∈ I gibt mitl⋃M ⊂ U ik .k=12Beispiel 8.3Sei X := ′C n . Wir haben zu p ∈ [1, ∞) dieNormn∑‖·‖: X ∋ x ↦−→ ( |x i | p ) 1 p ∈ IR .i=1Die Normeigenschaften sind bis auf die Dreiecksungleichung sofort klar. Ist p =1, dann istdie Dreiecksungleichung eine einfache Konsequenz aus der Gültigkeit dieser Ungleichungfür den Betrag. Sei nun p ∈ (1, ∞). Zur Verifikation der Dreiecksungleichung ziehen wirdas nachfolgende Lemma heran. Sei q ∈ (1, ∞) mitq −1 + p −1 =1.Seien x, y ∈ ′C n . Mit Lemma 8.4 erhalten wir:‖x + y‖ p =≤≤≤n∑|x i + y i | pi=1n∑n∑|x i ||x i + y i | p−1 + |y i ||x i + y i | p−1i=1i=1(∑ n) 1 (|x i | p p n ) 1 (∑|x i + y i | (p−1)q q n) 1∑(+ |y i | p p n ) 1∑|x i + y i | (p−1)q qi=1i=1i=1i=1⎧( ⎨ n) 1 (∑|x⎩ i | p p n) 1⎫ (∑+ |y i | p p ⎬ n)∑1−1|x⎭ i + y i | p pi=1i=1i=1Daraus liest man nun die Dreiecksungleichung ab.Ergänzt wird diese Normenfamilie (‖·‖ p ,p∈ [1, ∞)) durch‖·‖ ∞ : X ∈ x ↦−→ max1≤i≤n |x i|∈IR .