Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 240A t y = θ.(b) =⇒ (a)Setze U := Bild(A t ). Dann wissen wir U ∩ IR n +von x ∈ U ⊥ ∩ IR n > . Damit folgt= {θ}. Aus Satz 9.32 folgt die Existenz= = 0 für alle y ∈ IR n ,und daher Ax = θ.Nun können wir einen Existenzsatz für Ungleichungen beweisen.Satz 9.34Sei A ∈ IR m,n . Dann gibt es x ∈ IR n ,y ∈ IR m mitx + A t y ∈ IR n + ,Ax= θ, x ∈ IR n + ,At y ∈ IR n + .Beweis:Sei A =(a 1 | ...|a n ) und Y := {y ∈ IR m |A t y ∈ IR n +}.Betrachtef : Y ∋ y ′↦−→ {i ∈{1,...n}|(A t y ′ ) i > 0} ∈POT({1,...,n})Dann gibt es offenbar y ∈ Y, sodaß f(y) maximal bezüglich der Inklusion ist;k := #f(y). Definiere Matrizen B =(b 1 | ...|b n ) ∈ IR m,n und C =(c 1 | ...|c n ) ∈ IR m,ndurch{ab i i,i∈ f(y):=θ , sonst{θ ,i ∈ f(y)c i :=a i , sonstOffenbar ist A = B + C,C t y = θ. Für s ∈ IR und z ∈ IR n giltA t (sy + z) =sB t y + B t z + C t z.Annahme: Es gibt j und z ∈ IR n mit > 0.Dann ist j/∈ f(y) und wegen= + folgt:i ∈ f(y) =⇒ >0für s genügend groß,i = j/∈ f(y) =⇒ = > 0.Also haben wir einen Widerspruch zur Konstruktion von f(y).Dies zeigt, daß die Bedingung (b) in Satz 9.33 mit C anstelle von A erfüllt ist. Also gibtes w ∈ IR n > mit Cw = θ. Definiere x ∈ IR n + durch{0 ,i∈ f(y)x i :=,i /∈ f(y)w i