Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 31Die ursprüngliche Verwendung von ⊕, ⊙, • dient nur der Verdeutlichung, daß + , · unterschiedlicheObjekte verknüpft. Aus der Addition ergibt sich in üblicher Weise die Subtraktion:A − B := A +(−B) ,A,B∈ IK m,n ,wobei das Negative −B von B durchdefiniert ist.−B := (−b ij ) i=1(1)m , j =1(1)nmit B =(b ij ) i=1(1)m , j =1(1)n,Beispiel 2.5Betrachte in ′Q oder IR die Matrizen( )0 1A := ,B:=4 0(0 −10 2).Wir haben( ) ( )0 00 rA + B = B + A = ,rA=,4 24r 0( ) ( )0 2−4 0AB =,BA=.0 −48 0Beachte die Tatsache, daß A + B = B + A, aber AB ≠ BA ist. 2Eine Sonderrolle nehmen die Matrizen in IK m,1 und IK 1,n ein. Wir nennen die Elementein IK m,1 Spaltenvektoren und die Elemente in IK 1,n Zeilenvektoren. Diese Bezeichnungsweisewird anschaulich, wenn wir die zugehörigen Schemata betrachten:In IK m,1 :⎛ ⎞a 11a 21A =(a ij ) i=1(1)m , j =1(1)1=⎜ ⎟⎝ .. ⎠a m1In IK 1,n :A =(a ij ) i=1(1)1 , j =1(1)n= ( a 11 a 12 ... a 1n).Bemerkung 2.6Die Bezeichnung Vektor für ein Element in IK l bzw. IK m,1 bzw. IK 1,n ist aus der Physikübernommen. Hier ist der physikalische Hintergrund, eine gerichtete Größe zu sein, nichtrelevant, einzig und allein die Regeln, mit denen wir mit den n-Tupeln, den Spaltenvektorenoder den Zeilenvektoren umgehen, sind entscheidend. Die physikalische Sichtweise– die Bezeichnung Skalar für die Elemente in IK kommt auch aus der Physik – wirdspätestens dann eine Rolle spielen, wenn wir über affine Räume reden werden. 2Es ist offenbar ein enger Zusammenhang zwischen IK m,1 und IK m bzw. IK 1,n und IK n .Meist identifizieren wir IK m,1 , IK 1,n mit IK m bzw. IK n und verwenden für Spalten- bzw.