Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 54Dies bedeutet aber σ(i) =i für alle i ∈{1,...,m} , d.h. σ = id im Widerspruch zua(σ) ≥ 1 .Also gibt es nun ein Paar (i, i+1), 1 ≤ iσ(i+1). Sei τ die Transposition,die σ(i)mitσ(i+1) vertauscht. Dann gilt a(τ ◦σ) =a(σ)−1 , wovon man sich mittels einfacherFallunterscheidung überzeugt. Nach Induktionsvoraussetzung ist nun τ ◦σ Produktvon Transpositionen, also auch σ = τ ◦ (τ ◦ σ) .Folgerung 3.19Ist σ ∈S m Produkt von r Transpositionen, dann gilt ɛ(σ) =(−1) r .Beweis:Folgt aus Satz 3.18 durch mehrmaliges Anwenden vonfür jede Transposition τ.ɛ(τ ◦ σ) =−ɛ(σ)Wir haben gesehen, daß unabhängig von der Art der Darstellung einer Permutation alsProdukt von Transpositionen die Anzahl der dabei benötigten Transpositionen bei geradenPermutationen stets gerade und bei ungeraden Permutationen stets ungerade ist.Folgerung 3.20(a) ɛ(σ ◦ σ ′ )=ɛ(σ)ɛ(σ ′ ) ,σ,σ ′ ∈S m .(b) ɛ(σ −1 )=ɛ(σ) ,σ∈S m .(c) #S m = m! , #{σ ∈S m |ɛ(σ) =1} = m!/2, falls m ≥ 2 .Beweis:(a) folgt aus Satz 3.18, ebenso (b), da für jede Transposition τ gilt: τ −1 = τ.Die Aussage#S m = m! ist klar (siehe oben), die Ausage #{σ ∈S m |ɛ(σ) =1} = m!/2 folgt aus derTatsache, daß für jede Nachbarnvertauschung τ durchS m ∋ σ ↦−→ τ ◦ σ ∈S meine bijektive Abbildung definiert ist, bei der die geraden Permutationen auf ungeradeund die ungeraden Permutationen auf gerade Permutationen abgebildet werden.Die Menge A m := {σ ∈S m |ɛ(σ) =1} heißt alternierende Gruppe. Sie ist in der Tatmit der Einschränkung der Verknüpfung ◦ eine Gruppe, wie eine einfache Überlegung,basierend auf Folgerung 3.20, zeigt.Erste allgemeine Sätze über Permutationsgruppen wurden von P. Ruffini (1765 – 1822) über S 5 imZusammenhang mit dem Versuch, eine Gleichung 5. Grades durch Radikale (“Wurzelausdrücke“) zulösen. Er gibt die 120 Elemente explizit an und betrachtet Teilmengen von S 5 , die Untergruppensind, d.h. selbst wieder Gruppen in der durch S 5 induzierten Verknüpfung sind. Insbesonderestudiert er die alternierende Gruppe A 5 .