Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 257In Schritt 4 :Wähle kleinstes r mit ∆ r =min{∆ r ′|∆ r ′ > 0}In Schritt 7 :Wähle kleinstes s mit ˜x sd s=min{ ˜x id i|d i > 0, 1 ≤ i ≤ m}.Zyklen werden durch eine solche Festlegung im allgemeinen immer noch nicht vermieden.Man kann diesem Problem aber beikommen durch eine Ordnung der Ecken (sieheSpezialliteratur).Das Simplexverfahren benötigt beim Start eine Ecke (Phase I). Enthält die Matrix eineEinheitsmatrix, so ist eine Startecke sofort ablesbar, wenn b ≥ θ gilt. Bei großen Problemenist dies meist, selbst wenn dies der Fall sein sollte, nicht so einfach zu sehen. Hiergibt es einen ”Trick“ : Betrachte das HilfsproblemMinimiere unter den Nebenbedingungen Ax + w = b, x ≥ θ, w ≥ θ,wobei e =(1,...,1) ist. Eine Lösung dieses Hilfsproblems kann man mit dem Simplexverfahrenberechnen, denn hier ist nun eine Startecke bekannt, nämlich (θ, b)(o.E. kann b ≥ θangenommen werden.) Ist nun (x ∗ ,w ∗ )eineLösung dieses Hilfsproblem und ist w ∗ ≠ θ,dann enthält das Ausgangsproblem (LOP) keinen zulässigen Vektor, also Z = ∅; istdagegenw ∗ = θ, dann kann man aus x ∗ leicht eine Startecke von (LOP) ableiten.Es existieren Zeit und Speicher sparende Versionen des Simplexverfahrens. Allerdings istauch ein Beispiel bekannt, bei dem alle Ecken durchlaufen werden. In diesem Fall ist dieAnzahl der Rechenschritte exponentiell in der Anzahl der Variablen. Aus der Praxis hatman die Beobachtung, daß das Verfahren im allgemeinen mit einer Zahl von Rechenschrittenauskommt, die polynomial in der Anzahl der Variablen/Gleichungen ist. DieseBeobachtung wird gestützt durch die Tatsache, daß unter Annahme an die Verteilung derDaten, im Mittel die Anzahl der Rechenschritte polynomial beschränkt ist. Diese Effizienzkonnte für zwei Verfahren, die lineare Polygramme lösen, erst neulich bewiesen werden:1980 für die Ellipsoid-Methode von Kachian und 1984 für den Karmarkov-Algorithmus.Sie arbeiten auch mit dem Inneren der zulässigen Menge.9.7 Dualität *Ein wesentlicher Zug der linearen Programmierung ist, daß einem linearen Programmstets ein duales lineares Programm zugeordnet werden kann, das eine sehr tiefe Einsichtüber das Ausgangsprogramm liefert. In unserem Fall ist das duale Programm (LOP)* zu(LOP) gegeben durchMaximiere unter den Nebenbedingungen A t y ≤ c.Die zulässige MengeZ ∗ := {y ∈ IR m |A t y ≤ c}