Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 229Lemma 9.15Sei (X, ‖·‖) normierter IR – Vektorraum, sei dim X < ∞, und sei K ≠ ∅ einekonvexe Teilmenge von X. Dann sind äquivalent:(a) dim K =dimX(b) K hat innere Punkte.Beweis:a) =⇒ b)Seien x 1 ,...,x n+1 ∈ K affin linear unabhängig. Dann ist1n +1 (x1 + ...+ x n )ein innerer Punkt von K.b) =⇒ a)Sei x 0 ∈ K innerer Punkt von K; seiB r (x 0 ) ⊂ K, r > 0. Sei x 1 ,...,x n eine Basis von X.O.E. ‖x i ‖