Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 87Folgerung 4.20Seien X, Y, Z endlichdimensionale IK –Vektorräume und sei L ∈ Hom IK (X, Y ) ,R ∈ Hom IK (Y,Z). Dann giltdim IK (Bild(L) ∩ Kern(R)) = rg(L) − rg(R ◦ L) =def (R ◦ L) − def (L) .Beweis:Setze Q := R |Bild(L) . Dann folgt mit Satz 4.17:dim IK Bild(L) = dim IK Bild(Q)+dim IK Kern(Q)= dim IK Bild(R ◦ L)+dim IK (Bild(L) ∩ Kern(R))Die zweite Behauptung folgt daraus mitdim IK Bild(R ◦ L)+dim IK Kern(R ◦ L) =dim IK X =dim IK Bild(L)+dim IK Kern(L) .4.3 MatrizenNun wollen wir den engen Zusammenhang zwischen einem IK –Vektorraum X der Dimensionn und dem IK –Vektorraum IK n etwas genauer studieren. Dieser Zusammenhangbasiert auf der Tatsache, daß jeder Vektor x ∈ X nach Wahl einer Basis {x 1 ,...,x n } inX eine eindeutige Darstellungn∑x = a j x ji=1besitzt. Dabei nennen wir den Vektor (a 1 ,...,a n ) ∈ IK n den Koordinatenvektor von xbzgl. der gewählten Basis. Diese Begriffsbildung deckt sich mit dem üblichen Vorgehenbei der Wahl von Koordinaten in der Ebene IR 2 :Man wählt einen Punkt O (“Ursprung“) und zwei (gerichtete) Geraden g 1 undg 2 , die sich in O schneiden. Zu jedem Punkt P der Ebene ziehe man nun dieParallelen durch P zu g 1 und g 2 . Ihre Schnittpunkt P 1 mit g 1 und P 2 mit g 2kann man nun als Koordinatenpaar für den Punkt P verwenden, wenn mandie Punkte auf g 1 bzw. g 2 in umkehrbar eindeutiger Weise den reellen Zahlenzuordnet. Man hat dazu lediglich noch auf jeder Gerade eine Einheit festzulegen,welche der Einheit 1 in IR entspricht.Verwendet man aufeinander senkrecht stehende Geraden (Koordinatenachsen),spricht man von einem kartesischen Koordinatensystem. Wir kommenim Kapitel über Geometrie auf diese Konstruktion zurück. Dort gebenwir den umgangssprachlichen Begriffen etwas mehr formalen Gehalt.Es ist klar, daß für n = 2 die Geraden g 1 ,g 2 durch die Basisvektoren x 1 ,x 2 gemäß Definition2.19 so gegeben sind:g 1 := {x = a 1 x 1 |a 1 ∈ IK } ,g 2 := {x = a 2 x 2 |a 2 ∈ IK }