Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 1476.3 Affine Räume und affine AbbildungenHäufig sehen wir IR 2 als Zeichenebene und IR 3 als den uns umgebenden Anschauungsrauman. Dabei gehen wir fast immer von einem festgelegten Koordinatensystem aus. Für IR 2bedeutet dies:Man wählt einen Punkt O (“Ursprung“) und zwei (gerichtete) Geraden g 1 undg 2 , die sich in O schneiden. Zu jedem Punkt P der Ebene ziehe man nun dieParallelen durch P zu g 1 und g 2 . Ihre Schnittpunkt P 1 mit g 1 und P 2 mit g 2kann man nun als Koordinatenpaar für den Punkt P verwenden, wenn mandie Punkte auf g 1 bzw. g 2 in umkehrbar eindeutiger Weise den reellen Zahlenzuordnet. Man hat dazu lediglich noch auf jeder Gerade eine Einheit festzulegen,welche der Einheit 1 in IR entspricht.Verwendet man aufeinander senkrecht stehende Geraden (Koordinatenachsen),spricht man von einem kartesischen Koordinatensystem.Es ist klar, daß für n = 2 die Geraden g 1 ,g 2 durch die Basisvektoren x 1 ,x 2 sogegeben sind:g 1 := {x = a 1 x 1 |a 1 ∈ IK } ,g 2 := {x = a 2 x 2 |a 2 ∈ IK }Dem Vektor x = a 1 x 1 +a 2 x 2 ∈ X entspricht im Koordinatensystem der PunktP ,denmansoerhält:Trage von O aus a 1 Einheiten auf g 1 , a 2 Einheiten auf g 2 ab und hefte dasentstehende Geradensegment auf g 2 durch Parallelverschiebung an das Geradensegmentauf g 1 an; der Endpunkt des angehefteten Segments ist der PunktP .Treibt man aber “nur“ Geometrie, so sind Ursprung und (Koordinaten-) Achsen keineswegsausgezeichnet, sie werden, wenn sie denn gebraucht werden, den Bedürfnissen angepaßt.In der Zeichenebene oder in dem uns umgebenden Raum ist schnell einzusehen, daß dieParallelverschiebungen (Translationen) eine kommutative Gruppe bilden (siehe oben).Mehr noch: zu je zwei Punkten gibt es genau eine Parallelverschiebung, die den einenPunkt in den anderen überführt.Definition 6.17Sei X ein IK –Vektorraum. Eine Menge A ≠ ∅ heißt affiner Raum über X, wennes eine AbbildungA × A ∋ (P, Q) ↦−→ PQ−→∈ Xgibt mit:(a) Für jedes P ∈ A ist die Abbildung A ∋ Q ↦−→ PQ−→∈ X bijektiv.(b) Für je drei Punkte P, Q, R ∈ A gilt PQ−→+ QR−→= PR−→ .Man setzt affdim A := dim IK X.2