Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 69Annahme: a =0.Da u 1 ,...,u n linear unabhängig sind, folgt, daß a 1 ,...,a n verschwinden, was ein Widerspruchist.Also ist a ≠ 0 und wir können die obige Gleichung mit (−a) −1 multiplizieren und erhaltendie gewünschte Darstellung von u durch eine Linearkombination der u 1 ,...,u n .Lemma 3.51Sei V ein IK –Vektorraum. Besitzt V ein Erzeugendensystem E mit n Elementen,dann sind je n +1 Elemente aus V linear abhängig.Beweis:Sei E = {u 1 ,...,u n } . Wir wissen L(E) =V.Seien v 1 ,...,v n+1 ∈ V.Dann gibt es zu jedem v j Skalare a ij ∈ IK ,i=1,...,n, mitv j ∑= n a ij u i . Eine Linearkombination n+1 ∑x j v j = θ führt zui=1Betrachten wir das Gleichungssystemj=1n+1 ∑ n∑n∑ n+1θ = x j ( a ij u i ∑)= ( x j a ij )u i .j=1 i=1i=1 j=1Ax = θ mit A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)n+1,dann wissen wir aus der Anwendung des Gaußschen Eliminationsverfahren (siehe Satz2.12), daß dieses Gleichungssystem eine nichttriviale Lösung besitzt. Sei x =(x 1 ,...,x n+1 )diese Lösung. Damit folgt nunn+1 ∑j=1Also sind v 1 ,...,v n+1 linear abhängig.x j v j = θ, x≠ θ.Das obige Lemma nennen wir das Schrankenlemma, da es eine obere Schranke für dieAnzahl linear unabhängiger Elemente liefert.Satz 3.52Sei V ein IK –Vektorraum, V ≠ {θ}, und sei B ⊂ V.Es sind äquivalent:(a) B ist linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V.(b) B ist minimales Erzeugendensystem von V (bzgl. der Inklusion).(c) B ist maximale linear unabhängige Menge in V (bzgl. der Inklusion).Beweis:(a) =⇒ (b) :Sei E ⊂ B,E ≠ B.Sei u ∈ B\E.