Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 176Satz 7.23Sei X ein endlichdimensionaler IK –Vektorraum und sei L : X −→ X IK – linear.Dann sind für λ ∈ IK äquivalent:(a) λ ist Eigenwert von L.(b) Kern(λid X − L) ≠ {θ} .(c) Kern(λE − A) ≠ {θ} für jede Matrixdarstellung A von L.(d) det(λE − A) =0für jede Matrixdarstellung A von L.(e) det(λid X − L) =0.Beweis:Sei n := dim IK X und sei A eine Matrixdarstellung von L (bei gewählter Basis in X .(a) ⇐⇒ (b)Klar, ein Vektor x ist Eigenvektor zu λ genau dann, wenn x in Kern(λid X − L) ist.(b) ⇐⇒ (c)Betrachte das DiagrammXL−→Xk X⏐ ⏐⏐↓k X ◦ L = A ◦ k X⏐ ⏐⏐↓k XIK n,1A−→ IK n,1mit der Koordinatenabbildung k X . Aus der Kommutativität des Diagramms und derTatsache, daß k X ein Isomorphismus ist, folgt, daß jedes Element k X (x) ∈ IK n,1 mitx ∈ Kern(λid X − L) inKern(λE − A) liegt.Damit ist (b) =⇒ (c) klar, die Umkehrung folgt analog.Die Implikationen (c) ⇐⇒ (d) , (d) ⇐⇒ (e) sind trivial.Sei A =(a ij ) i=1(1)n , j =1(1)n∈ IK n,n . Betrachte die Abbildungp A : IK ∋ λ ↦−→ det(λE − A) ∈ IK .Die Darstellungsformel (D14) zeigt sofort, daß p A ein Polynom ist, dessen Grad höchstensn ist. Der Grad ist wirklich n, denn der Summand, der zur Identität id ∈S m gehört,lautet(λ − a 11 ) ···(λ − a nn ) .Der Koeffizient von λ n ist also 1. Der Koeffizient von λ n−1 ergibt sich zu−(a 11 + ...+ a nn ) ,der Koeffizient von λ 0 ist (−1) n det(A) . Also haben wirp A (λ) =λ n − (a 11 + ...+ a nn )λ n−1 + ...+(−1) n det(A) ,λ∈ IK . (7.1)