Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 252Schritt 7 Wähle s ∈{1,...,m} mitɛ ′ = x µs d −1s ,d s > 0,und setzeβ ′ := β\{µ s }∪{r} ,x ′ := x(ɛ ′ ).Lemma 9.50Wird β ′ und x ′ gemäß Schritt 7 bestimmt, so ist x ′ Ecke mit Basisvariablen β ′ .Beweis:O.E. s =1, d.h. β ′ = {r, µ 2 ,...,µ m }. Offensichtlich gilt I(x ′ ) ⊂ β ′ . Wir überprüfen dielineare Unabhängigkeit von a r ,a µ 2,...,a µm . Sei dazum∑αa r + α i a µ i= θ.i=2Ist α =0, so folgt aus der Tatsache, daß a m 1,...,a µm linear unabhängig sind, α 2 = ···=α m =0. Ist α ≠0, so können wir o.E. α = −1 annehmen. Dann giltund ein Vergleich mit (9.6) zeigtm∑α i a µ i= a ri=2d 1 =0,d i = α i , 2 ≤ i ≤ m.Nach Wahl von r gilt aber d 1 > 0. Widerspruch !Nach Lemma 9.50 können wir nun, vorausgesetzt wir sind nicht in Schritt 3 oder Schritt 6ausgestiegen, mit x := x ′ ,β := β ′ bei Schritt 1 fortsetzen. Einige mit Schritt 4 und Schritt7 zusammenhängende Fragen klären wir später.Wir wollen nun die Schritte 1 bis 7 in einem Rechenschema zusammenführen, dem sogenanntenSimplextableau.In Schritt 1 und Schritt 5 werden Darstellungen von b und a r durch die Basis a µ 1,...,a µmerforderlich. Wir formulieren allgemein:m∑m∑a j = α k,j a µ k, 1 ≤ j ≤ n, b = α k,0 a µ k.k=1Offenbar giltα k,µl = δ kl , 1 ≤ k, l ≤ m.Die Koeffizienten α k,l sind zu interpretieren als Lösungskomponenten einer Gleichungk=1A(µ 1 |···|µ m )ˆx = ˆb (ˆb = a j oder ˆb = b).