Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 225Dies zeigt: ax +(1− a)y ∈ B r (x 0 ). 2Lemma 9.3Seien X, Y IR – Vektorräume, sei L : X −→ Y linear, seien K 1 ,K 2 ⊂ X, K 3 ⊂ Ykonvex und seien a, b ∈ IR . Dann giltBeweis:Trivial(a) K 1 ∩ K 2 ist konvex.(b) K 1 × L(K 2 ):={(u, v) ∈ X × Y |u ∈ K 1 ,v ∈ L(K 1 )} ist konvex (in X × Y ).(c) L −1 (K 3 ):={u ∈ X|L(x) ∈ K 3 } ist konvex.(d) aK 1 + bK 2 := {au + bv|u ∈ K 1 ,v ∈ K 2 } ist konvex.Beispiel 9.4Sei X IR – Vektorraum mit Dualraum X ′ . Sei λ ∈ X ′ ,α∈ IR . Dann sindH + λ,α := {x ∈ X| ≥ α} ,H− λ,α := {x ∈ X| ≥ α} ,H λ,α := {x ∈ X| = α} ,H + λ,α \H λ,α,H − λ,α \H λ,αkonvex. Dies folgt im wesentlichen aus der Linearität von < ·, · > im 2. Argument.Die MengenH + λ,α ,H− λ.α bzw. H+ λ,α \H λ,α,H − λ,α \H λ,αwerden Halbräume bzw. offene Halbräume genannt. Bekanntlich ist H λ,α eine Hyperebene,falls λ ≠ θ und H λ,α ≠ ∅ ist. 2Definition 9.5Sei (X, σ) ein euklidischer Raum und sei P ⊂ X, P ≠ ∅.(a) P heißt Polyhedron, genau dann, wenn es HalbräumeH i := {x ∈ X|σ(z i ,x) ≤ a i } (z i ∈ X, a i ∈ IR ) , 1 ≤ i ≤ k,gibt mitk⋂P = H i .i=1(b) P heißt Polytop, genau dann, wenn P ein beschränktes Polyhedron ist. 2