Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 109Ist die Wohldefiniertheit gezeigt, ist alles klar, denn die Linearität ist offensichtlich.Sei µ ∈ Y ′ . Dann wird durchX ∋ x ↦−→ ∈ IKoffenbar eine IK –lineare Abbildung definiert. Also gibt es λ ∈ X ′ mitIst λ ′ ∈ X ′ eine weitere Linearform mit=< λ,x>,x∈ X.=< λ ′ ,x>, x∈ X,dann ist =0für alle x ∈ X, also λ − λ ′ = θ. Die Setzung L ′ (µ) :=λ ist alsosinnvoll.Satz 4.70Seien X, Y endlichdimensionale IK –Vektorräume, seien Φ X , Φ Y Basen in X bzw.Y und seien Φ X ′, Φ Y ′ die zugehörigen dualen Basen in X ′ bzw. Y ′ . Ist dannA := (a ij ) i=1(1)m , j =1(1)n∈ IK m,ndie Matrixdarstellung der IK –linearen Abbildung L : X −→ Y bzgl. Φ X , Φ Y , dannistA t =(a ji ) j =1(1)n , i=1(1)m∈ IK n,mdie Matrixdarstellung von L ′ : Y ′ −→ X ′ bzgl. Φ X ′, Φ Y ′.Beweis:Seien Φ X = {x 1 ,...,x n },Φ Y = {y 1 ,...,y m },Φ X ′ = {λ 1 ,...,λ n },Φ Y ′ = {µ 1 ,...,µ m }.Wir wissen:m∑L(x j )= a sj y s ,j=1(1)n.Für i =1(1)m folgt nunL ′ (µ i ) ====s=1n∑λ jj=1n∑λ jj=1m∑ n∑( a sj )λ jj=1 s=1m∑a ij λ jj=1Daraus liest man nun die Spalten der Matrixdarstellung von L ′ in der behaupteten Formab.Den Inhalt dieses Kapitels können wir nun ziemlich gut durch ein Diagramm wiedergeben.