Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 98Zu (a). Trivial.Zu (b). Folgerung 4.4 und Definition von Kern(A).Zu (c). Aus der Endform des Gaußschen Eliminationsverfahrens( )( ) ( )B C x1 c=Θ Θ x 2 dlesen wir ab, daß bei Lösbarkeit (d = θ !)gilt. Also folgt bei Lösbarkeitr = rg(BC|c) =rg(A|b) ≥ rg(A) =rg(BC)=rg(B) =rr = rg(A|b) =rg(A) .Ist rg(A|b) =rg(A), dann ist b Linearkombination der Spaltenvektoren von A, alsob ∈ Bild(A) und Lösbarkeit liegt vor.Zu (d). Aus der Dimensionsformel (siehe (4.2)) folgtn = rg(A) ⇐⇒ def (A) =0, d.h. n = rg(A) ⇐⇒ Kern(A) ={θ} ,was unter Berücksichtigung von (c) nur noch zu zeigen war.Zu (e). Klar, denn m = rg(A) ⇐⇒ Bild(A) =IK m,1 .Zu (f). Siehe (b) und Satz 2.8.Als erster hat mit Rangargumenten wohl J. Sylvester (1814 – 1897) gearbeitet. Der Begriff “Rang“wird von F.G. Frobenius (1849 – 1917) eingeführt. Die Bedingung (c) in Satz 4.44 wurde im Jahr1875/1876 von G. Fontené, G. Rouché, F.G. Frobenius gefunden.Die nun bereitstehenden Ergebnisse gestatten es, den Identitätssatz für Polynome zubeweisen.Satz 4.45Sei IK ein Körper mit # IK = ∞. Dann sind P IK , IK [x] isomorph.Beweis:Wir definieren die AbbildungH : IK [x] ∋ p ↦−→ H(p) ∈P IKdurchn∑n∑H(p)(z) := a i z i ,z∈ IK , falls p = a i x i ∈ IK [x] .i=0i=0Offenbar ist H linear und surjektiv.∑Sei p = n a i x i ∈ Kern(H), d.h. H(p)(z) =0für alle z ∈ IK . Zu zeigen ist a 0 = ... =i=0a n =0.Wähle z 0 ,...,z n ∈ IK mit #{z 0 ,...,z n } = n +1. Dies ist wegen # IK = ∞ möglich.Dann gilt alsoA(z 0 ,...,z n ) a = θ,