Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra II / Stand: August 1996 213Der Bequemlichkeit halber definiert man üblicherweise noch als vierte längentreue Transformationdie Gleitspiegelung. Sie ist das Ergebnis einer Achsenspiegelung bei gleichzeitigerTranslation entlang dieser Achse (Fußspuren im Sand sind ein Beispiel dafür). Beiunendlichen Bandornamenten kann man diese Transformationen als Symmetrieoperationenerkennen. Betrachte etwa das Bandornament...... HHHHH......Es bleibt invariant unter drei Spiegelungen, während das Bandornament...... EEEEE......invariant unter einer Translation und einer Spiegelung bleibt. (Es gibt übrigens siebensolche Symmetrieoperationen bei unendlichen Bandornamenten.)Wenn man statt der eindimensionalen Bandornaments die zweidimensionale “Ornamentebene“betrachtet, so nimmt die Anzahl der möglichen Symmetrien zu; wir haben ja etwa schon zweiunabhängige Translationen. Vom russischen Kristallographen E.S. Fedorov (1853 – 1919) wurde1891 gezeigt, daß es genau 17 verschiedene Symmetrietypen gibt. (Man hat zu unterscheiden zwischendiesen 17 Symmetrietypen und der unendlichen Vielfalt der möglichen Ornamente mit derman die Ebene überdecken kann.) Beispiele für jeden Ornamenttyp sind in der Ornamentkunst desAltertums vertreten.Folgerung 8.43Sei (X, σ) ein euklidischer Vektorraum mit dim X = n und sei L ∈O(X, σ).(a) Ist det(L) =1und ist n ungerade, dann hat L einen Eigenwert 1.(b) Ist det(L) =−1 und ist n gerade, dann hat L einen Eigenwert 1.Beweis:Sei L = S k ◦···◦S 1 ,k ≤ n, gemäß Satz 8.41. Da det(S i )=−1, 1 ≤ i ≤ k, ist, haben wirdet(L) =(−1) k und daher k0gilt, folgt L({w 1 ,...,w k }) ⊥ ≠ {θ}.Definition 8.44Sei (X, σ) ein euklidischer (unitärer) Vektorraum und seien x 1 ,...,x n ∈ X. DieMatrix(σ(x i ,x j )) i=1(1)n , j =1(1)nheißt Gramsche Matrix zu x 1 ,...,x n ; wir schreiben dafür Γ(x 1 ,...,x n ) .2